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Re: 四角形の内接楕円の面積

 投稿者:しろうま  投稿日:2017年 7月29日(土)19時14分34秒
返信・引用
  > No.14540[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

追加コメントありがとうございます。
2*AB*AD=AC^2の条件で内接する最大楕円の共通の性質は何かとうことでしょうか?むずかしそうですが考えてみます。
 
 

数学感動秘話 二重Σ

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 7月29日(土)08時54分55秒
返信・引用
  僕のコメント後半の
Σk=1~n k^2

のうち、k=1~nの部分が小さく表記されていませんので、修正お願いします。
 

Re: 三角形の周の長さの最小値

 投稿者:D  投稿日:2017年 7月29日(土)08時32分27秒
返信・引用 編集済
  > No.14544[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

> 原点をOとするxy平面上で、第1象限にある点(a,b)を通る
> 傾きが負の直線とx軸,y軸との交点をA,Bとする。
> △OABの周の長さの最小値はいくらか。
>
我疑う故に存在する我 (デカルト) 師 曰く; 2 (a + b + Sqrt[2] Sqrt[a b])
 

Re: 三角形の周の長さの最小値

 投稿者:HP管理者  投稿日:2017年 7月29日(土)07時29分27秒
返信・引用
  > No.14544[元記事へ]

直感で、(2+√2)(a+b) ですか?
 

三角形の周の長さの最小値

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 7月29日(土)05時09分11秒
返信・引用
  原点をOとするxy平面上で、第1象限にある点(a,b)を通る
傾きが負の直線とx軸,y軸との交点をA,Bとする。
△OABの周の長さの最小値はいくらか。
 

Re: 二重Σ

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 7月28日(金)19時53分29秒
返信・引用
  > No.14541[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 次の和を求めよ。
>
> Σ[k=1,n]{Σ[j=1,k]j}

まず、和の公式より、

Σ[k=1,n]=n(n+1)/2
Σ[k=1,n]=n(n+1)(2n+1)/6

よって、
Σ[k=1,n]{Σ[j=1,k]j}
=Σ[k=1,n]k(k+1)/2
=(1/2)Σ[k=1,n](k^2+k)
=(1/2){{n(n+1)(2n+1)/6}+{n(n+1)/2}}
=(1/2)(1/6)n(n+1){(2n+1)+3}
=(1/2)(1/6)n(n+1)×2(n+2)
=n(n+1)(n+2)/6
 

Re: 二重Σ

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 7月28日(金)01時25分49秒
返信・引用
  よおすけさんへのお返事です。

1~nから3数i,j,k(i≦j≦k)を選ぶ方法はnH3通りで、これは
Σ[k=1~n]Σ[j=1~k]Σ[i=1~j]1
=Σ[k=1~n]Σ[j=1~k]j
と等しいので、nH3=n(n+1)(n+2)/6通り。
 

二重Σ

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 7月28日(金)00時54分56秒
返信・引用
  次の和を求めよ。

Σ[k=1,n]{Σ[j=1,k]j}
 

Re: 四角形の内接楕円の面積

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 7月27日(木)23時45分7秒
返信・引用
  しろうまさんへのお返事です。

凧型に関して、ちょっと気づいたことがあったので。

BD を対称軸とする凧型 ABCD があり、
2*AB*AD=AC^2 を満たしています。
この凧型 ABCD の内接楕円のうち面積が最大のものはどんな楕円でしょうか?

らすかるさんの式から各軸の長さを求めることで証明はできるわけですが、
幾何学的にこの 2*AB*AD=AC^2 が一体何を意味する式なのか……
 

Re: (無題)

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 7月27日(木)23時34分48秒
返信・引用
  SAKURAさんへのお返事です。

(1) これは集合の直積の記号の意味を知っているかどうか、だけです。
A×B は、A の要素から 1 つ選んで前に書き、B の要素から 1 つ選んで後に書いたようなもの全ての集合です。
つまり全部で 2×3=6 パターンありますので、
ダブりや抜けがないように全部書き並べて終了。
A×B = { (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4) }

(2) 写像と何も関係がない、高校1年生の数学ですね。抜けがないように気をつけて全部書くだけですので解説略。
{ {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3}, {} }
最後の {} は空集合記号を用いてもいいですね。

(3) 全射ですから、B の 3 と 4 のどちらも行き先に登場させなければなりません。
しかし、あみだくじ(全単射)と違い、単射は要求されていません。
つまり、別のところから出発して同じところにたどりついてしまっても問題ありません。
6 パターンあるうちどれかを答えれば正解。
f : A→B, f(1)=3, f(2)=4, f(3)=3
とか。

(4) 今度は単射ですから、行き先にダブりがあってはいけません。
しかし、全射は要求されていません。
つまり、A の 1,2,3 の中で行き先に一度も登場しないものがあっても構いません。
これも 6 パターンあるうちどれかを答えれば正解。
g : B→A, g(3)=1, g(4)=2
とか。

(5) これは問題が悪いと思います。
fg を答えればいいのか gf を答えればいいのか、あるいは両方答えろなのか……。
fg であれば、先に g を処理するので B→B の写像になりますね。
私が答えたものであれば、
g(3)=1 で f(1)=3 なので、gf(3)=3
g(4)=2 で f(2)=4 なので、gf(4)=4
なので、
fg : B→B, fg(3)=3, fg(4)=4
です。
gf は同じように
gf : A→A, gf(1)=1, gf(2)=2, gf(3)=1
です。
全射でも単射でもないものになりましたが、
全射でないものと単射でないものを合成したので仕方がない。

(6) 存在しません。
この問題は「人が 3 人いて、一人がけの椅子が 2 つあります。3 人全員が座るにはどの椅子に誰が座ればいいか全て答えなさい」と数学的に同じ問題です。
そりゃ無理でしょう。
 

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