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Re: 不思議な6次式

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年 1月16日(火)12時09分8秒
返信・引用 編集済
  > No.15169[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> 3つの積それぞれが同じ整数の累乗数になるパターンは他にあるのでしょうか?

多分ないと思います。

A = x(x+1)(x+2)(k-x)(k+1-x)(k+2-x), k≧1 ならば
x(k-x) が累乗数なので x(k-x)≧1
よって (x+1)(k+1-x)=x(k-x)+(k+1)≧k+2
{(x+2)(k+2-x)}/{(x+1)(k+1-x)}=1+(k+3)/{(x+1)(k+1-x)}
≦1+(k+3)/(k+2)=2+1/(k+2)
よって(x+2)(k+2-x)は(x+1)(k+1-x)の3倍未満なので、
同じ整数の累乗数になるならば2の累乗しかあり得ず、
(x+2)(k+2-x)=2(x+1)(k+1-x)となる。

# 従って同じ整数の累乗数で4連続はあり得ないですね。
# -2≦k≦0は-x^2が出てきて不適、k≦-3は上と同じですね。
 
 

Re: 3と15との饗宴

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 1月16日(火)11時40分11秒
返信・引用
  ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

どうやら、私の解答は、ハンニバルさんの方法でも
> {3,5,6,7}
と 14 の5数を使い、全体を-2するとできるみたいですね。
 

Re: 3と15との饗宴

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 1月16日(火)11時33分36秒
返信・引用
  ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

なるほどそんな作り方もあるんですね。
面白いです。
私は全然違う考え方で作っていました。

その形で作る場合、二進にこだわる必要もないですね。
つまり、5つの数 A, B, C, D, E を用意して
{A, B+C, D+E}
{A, B+D, C+E}
{A, B+E, C+D}
{B, A+C, D+E}
{B, A+D, C+E}
{B, A+E, C+D}
以下略
と、各数字を軸に残り4つを2つずつ足し合わせていけば、
単独のもの5種と2数の和10種が3回ずつ出現、と。
さらに言えば、単独のもの全てに共通の数を足したり、2数の和のもの全てに共通の数を足してもOK。
もちろん全てに同じ数を加えるのも問題ありません(ハンニバルさんの提示例も、全て-5すればM=20で収まります……同じ和になるのに拾ってないものがあることに目をつぶれば、ですが)

ところで、和が S/5 である部分集合を、
「全部用意すると15個になって条件を満たす」ではなく、
「そのうち都合のいいもの15個選ぶと条件を満たす」にすると、どうなるのでしょう。
つまり、同じ和になる部分集合が他にあってもよいとした場合です。
ハンニバルさんの提示例で全部-5したものがM=20
私が書いたものがM=19
さてM=18は可能?
 

Re: 3と15との饗宴

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 1月16日(火)11時10分51秒
返信・引用
  > No.15170[元記事へ]

… 蛇足です。

さきほどの中央の列にある、 1 2 4 8 16 のかわりに 6 9 11 12 13 を置き換えたものを考えた結果が 最初にご案内した失敗作 M=25 のものです。

6 9 11 12 13 は
OEIS の
A096858  の

EXAMPLE  The triangle begins:
{1}
{1,2}
{2,3,4}
{3,5,6,7}
{6,9,11,12,13}
{11,17,20,22,23,24}
……
の五行目からもらってきました。

チェックが甘かったと反省しています。

 

Re: 3と15との饗宴

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 1月16日(火)10時56分7秒
返信・引用
  > No.15167[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

>
> 追記
> ハンニバルさんの提示例でも {9,20,22} なんかが和が 51 なのに不採用になってるので問題ないのかな?

これは不調法なことをしでかしてしまいました。大失敗です。

ご指摘のほど、まことに有り難うございました。

失敗してしまいましたので早速手仕舞いたします。

意図していたのは、
次のような5行3列の15個の数の組み合わせをみつけたかったというものです。(2進法表記です)

01100 00001 10010
00011 01000 10100
11000 00010 00101
00110 10000 01001
10001 00100 01010

各行で和は 11111 です。これがS/5の予定でした。
各要素は5ビットからなっています。
中央の列では1ビットがオンで、左右の列は2ビットがオンです。
各要素の右端のビットが左端のビットにサイクリックにつながっているとみなしますと、左側の列の要素では、オンになっているビットは隣り合っていて、右側の列の要素では、オンになっているビットは間にひとつ空きがある、というようにもみなせます。

以下、行についてですが、5行目と1行目とがサイクリックにつながっていると、みなしておきます。

左右の列は中央の列から、つくりました。

たとえば、3行目の
11000 00010 00101
ですが、

***** 00001 *****
***** 01000 *****
***** 00010 *****
***** 10000 *****
***** 00100 *****

00010 の1行まえの 01000 と 1行うしろの 10000 との和を作り 11000 となったものを 00010 の行の左の列におきます。
また、
00010 の2行まえの 00001 と 2行うしろの 00100 との和を作り 00101 となったものを 00010 の行の右の列におきます。

***** 00001 *****
***** 01000 *****
11000 00010 00101
***** 10000 *****
***** 00100 *****

このように3行目では中央の列から左右の列を作成しましたが、他の行でも同様におこないます。
さて、作り方から、各行の和は 11111 となります。

再掲しますと、


01100 00001 10010
00011 01000 10100
11000 00010 00101
00110 10000 01001
10001 00100 01010

なのですが、このとき、

中央の列についてもういちど目をやって、他に 和が11111 になる組み合わせがあるかどうか探しますと…例えば3行目の 00010 では、左の列の2行まえの 01100 と2行うしろの 10001 とを 00010 に加えると 11111 になり、
また、右の列の1行まえの 10100 と1行うしろの 01001 とを  00010 に加えると 11111 になります。
これもまた、作り方からいえることです。
他の行でも同じことがいえます。


あとは2進法から10進法に書き直してすました顔でいようと考えておりました。

申し遅れましたが、Mは11000で24です。Sは155でした。

この度は不出来な投稿をしてしまい申し訳ありませんでした。

 

Re: 不思議な6次式

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 1月16日(火)10時51分47秒
返信・引用
  らすかるさんへのお返事です。

> x = {k + √(k^2-8)}/2 のとき
> x(x+1)(x+2)(k-x)(k+1-x)(k+2-x) = (2n)^(2m)

なるほど確かに、合成数なら x(k-x), (x+1)(k+1-x), (x+2)(k+2-x) のそれぞれが累乗数にならずとも積が累乗数になる場合はありますもんね。
(ところでkは4以上の任意の自然数で (2k+6)^2 になるのでOKですね)

3つの積それぞれが同じ整数の累乗数になるパターンは他にあるのでしょうか?
 

Re: 不思議な6次式

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年 1月16日(火)06時53分46秒
返信・引用
  > No.15156[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

>    A = x(x+1)(x+2)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x) とおく。
>    x = "二次の無理数" のとき A = "整数"^[   ] である。
> という問題は他に作れるのでしょうか?

x = 2+√2 のとき x(x+1)(x+2)(4-x)(5-x)(6-x) = 14^2
x = (95+√9017)/2 のとき x(x+1)(x+2)(95-x)(96-x)(97-x) = 14^4
x = (1369+√1874153)/2 のとき x(x+1)(x+2)(1369-x)(1370-x)(1371-x) = 14^6
x = (19205+√368832017)/2 のとき x(x+1)(x+2)(19205-x)(19206-x)(19207-x) = 14^8
一般に
k = ((2n)^m)/2-3 として
x = {k + √(k^2-8)}/2 のとき
x(x+1)(x+2)(k-x)(k+1-x)(k+2-x) = (2n)^(2m)
 

Re: 3と15との饗宴

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 1月16日(火)06時13分36秒
返信・引用 編集済
  ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

> M=24 に変更し、Sを255よりも小さい値に変更しても、上記のAのような集合や、15個の部分集合を作れるのですが、ひとつ作ってみませんか?

M = 19
S = 145
A = {1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,15,17,18,19}

{1,9,19}
{1,10,18}
{1,11,17}
{3,7,19}
{3,8,18}
{3,11,15}
{4,6,19}
{4,8,17}
{4,10,15}
{5,6,18}
{5,7,17}
{5,9,15}
{6,11,12}
{7,10,12}
{8,9,12}

みたいなのは、15個の部分集合は条件に合致するものの、和が 29 になる部分集合は他にもある( {4,7,18}とか)のでダメですかね?

追記
ハンニバルさんの提示例でも {9,20,22} なんかが和が 51 なのに不採用になってるので問題ないのかな?
 

3と15との饗宴

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 1月16日(火)00時55分39秒
返信・引用
  こんにちは。はじめまして。

S=255
M=25
とします。

※(あとで必要となりますが)Sは5の倍数です。

互いに異なる正の整数を《15》個用意します。

これらの総計はSで、また、これらのうち最大の数はMとします。

これらを要素として持つ集合をAとします。

たとえば
A={6, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
としましょう。

このときに、
Aの部分集合のなかで、要素の数が《3》であって、かつ、その3個の要素の数の合計がS/5であるものを全て拾いあげると、部分集合は《15》個あります。以下。

{ 6, 20, 25}
{ 6, 21, 24}
{ 6, 22, 23}
{ 9, 17, 25}
{ 9, 18, 24}
{ 9, 19, 23}
{11, 15, 25}
{11, 18, 22}
{11, 19, 21}
{12, 15, 24}
{12, 17, 22}
{12, 19, 20}
{13, 15, 23}
{13, 17, 21}
{13, 18, 20}

上の部分集合の一覧を見ると、Aの各要素は例外なく《3》回登場しています。

また、面白いことに、これらの部分集合から任意の3集合を選んだときに、下記が成立することが **ありません**

「3つの部分集合をX,Y,Zとする。Aの要素x,y,zについて、
{y,z}⊂X and {z,x}⊂Y and {x,y}⊂Z 」


さて、
M=24 に変更し、Sを255よりも小さい値に変更しても、上記のAのような集合や、15個の部分集合を作れるのですが、ひとつ作ってみませんか?

(大変に申し訳ないのですが、私は手作業でひとつだけ作れましたが、他にも作れるか否かについては存じ上げません。)

是非、カラクリを暴いてみてください。

面白がって頂けるかどうか甚だ不安ですが、あえて投稿させて頂きます。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 1月15日(月)22時35分55秒
返信・引用
  S; x^2-x y-z^3=0 なる 低次過ぎと 云われそうな 代数曲面を 定義します;


(1) Sの 双対曲面 S^★ を 求めて下さい;

必要な 斎次化( Homogenization ; 同次化 ) 射影化 は為しておきます; W X^2-W X Y-Z^3=0

http://coolkai.blog129.fc2.com/blog-entry-221.html

(2)不定方程式(Diophantine equation) S∩Z^3 を 求めて下さい;

(3)不定方程式(Diophantine equation) S^★∩Z^3 を 求めて下さい;



      訃報が 耳に届く;
   野村沙知代 ■横田一郎■  竹内外史
  星野仙一   フランス・ギャル

gokurousama_ 23 さん

2017/9/913 : 12 : 56
      「長さと燃える速さが異なる二本のろうそくがあります。
● Aのろうそくは15センチで30分、Bのろうそくは12センチで60分かかって無くなります。
                【燃え尽き】
同時に火をつけた時、二本のろうそくが同じ長さになる のは何分後ですか?」
小学六年生の算数ですが、手こずっていますm (__) m
どなたか、わかりやすくお願いします。

●を    観た刹那;  H1; x/30 + y/15 = 1,  H2;  x/60 + y/12 = 1(<--- Hyperplane)

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/151564598377031550177.gif

  ■▲ ideal <x/30 + y/15 - 1, x/60 + y/12 - 1>=<y-10,x-10>  ▲■ KARA  10 何分後.
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