teacup. [ 掲示板 ] [ 掲示板作成 ] [ 有料掲示板 ] [ ブログ ]

 投稿者
  題名
  内容 入力補助 youtubeの<IFRAME>タグが利用可能です。(詳細)
    
 URL
[ ケータイで使う ] [ BBSティッカー ] [ 書込み通知 ] [ 検索 ]


Re: eとπの繋がり方

 投稿者:GAI  投稿日:2017年 6月22日(木)08時44分20秒
返信・引用 編集済
  > No.14470[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

>
> Σ[m=1...∞] { s^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*s)-1) + t^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*t)-1) } = {s^(2k+1)+t^(2k+1)}/(8k+4)*B(4k+2)
>
> k は自然数として、st=1 を満たす任意の正実数の組 s,t に対してこれが成立するようです。
> なんにせよ、e^π とベルヌーイ数との関係は思った以上に深いようです。

面白い関係式が成り立つんですね。
まったく関係ないでしょうが式中のm^(4k+1)の性質として
mの最下位とm^(4k+1)の最下位は必ず一致しますね。
e,π,ベルヌーイ数,素数分布にはホントに魔訶不可思議な関係がいろいろ隠れているのですね。


この頃e^πに関わる不思議な等式に
f(q)=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q^25+(以下2*q^(n^2)のものが無限に続く)
に対し(ヤコビのtheta function)
q=1/e^π に対するf(q)の値がπ^(1/4)/Γ(3/4) :Γ(z)はガンマ関数
というまた何とも言えぬ不思議さに出会いました。

 
 

1002桁まで範囲を広げ調査

 投稿者:GAI  投稿日:2017年 6月21日(水)09時38分3秒
返信・引用
  1が最下位 "/" 3が最下位 "/" 7が最下位 "/" 9が最下位
1;1 "/" 1;1 "/" 1;1 "/" 9;1
1;18 "/" 1;2 "/" 1;3 "/" 9;2
1;22 "/" 1;4 "/" 1;4 "/" 9;16
1;316 "/" 1;8 "/" 1;7 "/" 9;139
2;3 "/" 1;10 "/" 1;22 "/" 9;989
2;17 "/" 1;23 "/" 1;28 "/" 1;1
2;99 "/" 1;83 "/" 1;39 "/" 1;4
2;120 "/" 1;220 "/" 1;130 "/" 1;5
2;243 "/" 2;1 "/" 1;135 "/" 1;7
2;545 "/" 2;2 "/" 1;214 "/" 1;16
2;630 "/" 2;7 "/" 1;610 "/" 1;49
3;1 "/" 2;10 "/" 1;766 "/" 1;683
3;2 "/" 2;35 "/" 2;2 "/" 1;719
3;3 "/" 2;94 "/" 2;8 "/" 2;1
3;4 "/" 2;100 "/" 2;14 "/" 2;2
3;5 "/" 2;127 "/" 2;27 "/" 2;4
3;6 "/" 2;259 "/" 2;63 "/" 2;13
3;7 "/" 2;350 "/" 3;1 "/" 2;175
3;17 "/" 2;466 "/" 3;2 "/" 2;415
3;39 "/" 2;644 "/" 3;5 "/" 4;2
3;49 "/" 4;1 "/" 3;45 "/" 4;4
3;59 "/" 4;2 "/" 3;393 "/" 4;5
3;77 "/" 4;5 "/" 3;977 "/" 4;47
3;100 "/" 4;8 "/" 4;1 "/" 4;107
3;150 "/" 4;11 "/" 4;3 "/" 4;244
3;318 "/" 4;29 "/" 4;9 "/" 5;1
3;381 "/" 4;31 "/" 4;19 "/" 5;7
3;783 "/" 4;182 "/" 4;25 "/" 5;11
4;1 "/" 4;296 "/" 4;721 "/" 5;17
4;3 "/" 4;491 "/" 5;2 "/" 5;25
4;10 "/" 5;1 "/" 5;3 "/" 5;31
4;27 "/" 5;7 "/" 5;5 "/" 5;137
4;54 "/" 5;25 "/" 5;9 "/" 5;187
4;93 "/" 5;65 "/" 5;14 "/" 5;221
4;474 "/" 5;73 "/" 5;21 "/" 5;337
5;11 "/" 5;232 "/" 5;87 "/" 5;1001 *(5が1001回繰り返す555・・・59は素数になる。)
5;12 "/" 5;472 "/" 5;206 "/" 7;1
5;608 "/" 5;539 "/" 5;527 "/" 7;65
6;1 "/" 7;1 "/" 5;959 "/" 7;85
6;2 "/" 7;2 "/" 6;1 "/" 7;89
6;3 "/" 7;4 "/" 6;5 "/" 7;101
6;9 "/" 7;8 "/" 6;7 "/" 7;385
6;17 "/" 7;11 "/" 6;8 "/" 7;623
6;20 "/" 7;14 "/" 6;10 "/" 8;1
6;21 "/" 7;20 "/" 6;19 "/" 8;13
6;27 "/" 7;263 "/" 6;22 "/" 8;16
6;42 "/" 7;382 "/" 6;40 "/" 8;34
6;65 "/" 8;1 "/" 6;62 "/"
6;120 "/" 8;2 "/" 6;65 "/"
6;132 "/" 8;4 "/" 6;118 "/"
6;177 "/" 8;7 "/" 6;121 "/"
6;240 "/" 8;8 "/" 6;148 "/"
6;453 "/" 8;14 "/" 6;251 "/"
6;552 "/" 8;50 "/" 6;283 "/"
7;1 "/" 8;70 "/" 6;304 "/"
7;12 "/" 8;76 "/" 6;591 "/"
7;19 "/" 8;223 "/" 6;745 "/"
7;22 "/" 8;295 "/" 6;874 "/"
7;30 "/" 8;314 "/" 8;2 "/"
7;99 "/" "/" 8;3 "/"
7;240 "/" "/" 8;5 "/"
7;274 "/" "/" 8;8 "/"
7;924 "/" "/" 8;11 "/"
8;2 "/" "/" 8;71 "/"
8;18 "/" "/" 8;117 "/"
8;78 "/" "/" 8;123 "/"
8;138 "/" "/" 8;189 "/"
8;222 "/" "/" 8;243 "/"
8;462 "/" "/" 8;303 "/"
8;543 "/" "/" 8;356 "/"
9;2 "/" "/" "/"
9;4 "/" "/" "/"
9;6 "/" "/" "/"
9;32 "/" "/" "/"
9;44 "/" "/" "/"
9;104 "/" "/" "/"
9;196 "/" "/" "/"
9;198 "/" "/" "/"
9;280 "/" "/" "/"
9;300 "/" "/" "/"
9;316 "/" "/" "/"
 

Re: eとπの繋がり方

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 6月21日(水)08時24分7秒
返信・引用
  以前投稿した
Σ[m=1...∞] m^(4k+1)/(e^(2mπ)-1) = 1/(8k+4)*B(4k+2)
をちょっと一般化することに成功しました。

Σ[m=1...∞] { s^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*s)-1) + t^(2k+1)*m^(4k+1)/(e^(2mπ*t)-1) } = {s^(2k+1)+t^(2k+1)}/(8k+4)*B(4k+2)

k は自然数として、st=1 を満たす任意の正実数の組 s,t に対してこれが成立するようです。
この式で s=t=1 として両辺を2で割ると上の式になります。

互いに逆数になるものをそれぞれ 2k+1 乗する部分はともかく、指数につっこんで (e^(2mπ))^s と (e^(2mπ))^(1/s) みたいになっているのが非常に気持ち悪い……

なんにせよ、e^π とベルヌーイ数との関係は思った以上に深いようです。
 

素数美人コンテスト

 投稿者:GAI  投稿日:2017年 6月21日(水)06時51分51秒
返信・引用 編集済
  参加国102桁より選ばれし美人素数群

1;2=>11
1;19=>1111111111111111111
1;23=>11111111111111111111111
2;3=>2221
2;17=>222222222222222221
2;99=>2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222221
3;1=>31
3;2=>331
3;3=>3331
3;4=>33331
3;5=>333331
3;6=>3333331
3;7=>33333331
3;17=>333333333333333331
3;39=>3333333333333333333333333333333333333331
3;49=>33333333333333333333333333333333333333333333333331
3;59=>333333333333333333333333333333333333333333333333333333333331
3;77=>333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333331
3;100=>33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333331
4;1=>41
4;3=>4441
4;10=>44444444441
4;27=>4444444444444444444444444441
4;54=>4444444444444444444444444444444444444444444444444444441
4;93=>4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444441
5;11=>555555555551
5;12=>5555555555551
6;1=>61
6;2=>661
6;3=>6661
6;9=>6666666661
6;17=>666666666666666661
6;20=>666666666666666666661
6;21=>6666666666666666666661
6;27=>6666666666666666666666666661
6;42=>6666666666666666666666666666666666666666661
6;65=>666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666661
7;1=>71
7;12=>7777777777771
7;19=>77777777777777777771
7;22=>77777777777777777777771
7;30=>7777777777777777777777777777771
7;99=>7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777771
8;2=>881
8;18=>8888888888888888881
8;78=>8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888881
9;2=>991
9;4=>99991
9;6=>9999991
9;32=>999999999999999999999999999999991
9;44=>999999999999999999999999999999999999999999991
1;1=>13
1;2=>113
1;4=>11113
1;8=>111111113
1;10=>11111111113
1;23=>111111111111111111111113
1;83=>111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113
2;1=>23
2;2=>223
2;7=>22222223
2;10=>22222222223
2;35=>222222222222222222222222222222222223
2;94=>22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223
2;100=>22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223
4;1=>43
4;2=>443
4;5=>444443
4;8=>444444443
4;11=>444444444443
4;29=>444444444444444444444444444443
4;31=>44444444444444444444444444444443
5;1=>53
5;7=>55555553
5;25=>55555555555555555555555553
5;65=>555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555553
5;73=>55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555553
7;1=>73
7;2=>773
7;4=>77773
7;8=>777777773
7;11=>777777777773
7;14=>777777777777773
7;20=>777777777777777777773
8;1=>83
8;2=>883
8;4=>88883
8;7=>88888883
8;8=>888888883
8;14=>888888888888883
8;50=>888888888888888888888888888888888888888888888888883
8;70=>88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888883
8;76=>88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888883
1;1=>17
1;3=>1117
1;4=>11117
1;7=>11111117
1;22=>11111111111111111111117
1;28=>11111111111111111111111111117
1;39=>1111111111111111111111111111111111111117
2;2=>227
2;8=>222222227
2;14=>222222222222227
2;27=>2222222222222222222222222227
2;63=>2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222227
3;1=>37
3;2=>337
3;5=>333337
3;45=>3333333333333333333333333333333333333333333337
4;1=>47
4;3=>4447
4;9=>4444444447
4;19=>44444444444444444447
4;25=>44444444444444444444444447
5;2=>557
5;3=>5557
5;5=>555557
5;9=>5555555557
5;14=>555555555555557
5;21=>5555555555555555555557
5;87=>5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555557
6;1=>67
6;5=>666667
6;7=>66666667
6;8=>666666667
6;10=>66666666667
6;19=>66666666666666666667
6;22=>66666666666666666666667
6;40=>66666666666666666666666666666666666666667
6;62=>666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
6;65=>666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
8;2=>887
8;3=>8887
8;5=>888887
8;8=>888888887
8;11=>888888888887
8;71=>888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887
9;1=>97
9;2=>997
9;16=>99999999999999997
1;1=>19
1;4=>11119
1;5=>111119
1;7=>11111119
1;16=>11111111111111119
1;49=>11111111111111111111111111111111111111111111111119
2;1=>29
2;2=>229
2;4=>22229
2;13=>22222222222229
4;2=>449
4;4=>44449
4;5=>444449
4;47=>444444444444444444444444444444444444444444444449
5;1=>59
5;7=>55555559
5;11=>555555555559
5;17=>555555555555555559
5;25=>55555555555555555555555559
5;31=>55555555555555555555555555555559
7;1=>79
7;65=>777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
7;85=>77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
7;89=>777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
7;101=>777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
8;1=>89
8;13=>88888888888889
8;16=>88888888888888889
8;34=>88888888888888888888888888888888889

これらを連続数でソートしたとき
65と長い繰り返しにも関わらず
555・・・53
666・・・61
666・・・67
777・・・79
の4パターンが存在していることが面白かったです。

 

Re: 無理数から有理数へ

 投稿者:よおすけ  投稿日:2017年 6月19日(月)20時04分21秒
返信・引用
  > No.14465[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

数学感動秘話-無理数乗の不思議にも一例があります。
 

Re: 無理数から有理数へ

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 6月19日(月)19時39分54秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

a を無理数、b を有理数として、a^(log[a]b) のほとんどのもの、とか
 

Re: 無理数から有理数へ

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 6月19日(月)19時13分39秒
返信・引用
  > No.14465[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

aを1でない正の有理数
bを有理数でない代数的数
とするとa^(1/b)は無理数であり
{a^(1/b)}^b=a で (無理数)^(無理数)=(有理数)
 

無理数から有理数へ

 投稿者:GAI  投稿日:2017年 6月19日(月)13時07分4秒
返信・引用
  一般に(無理数)^(無理数)が有理数の結果になる例をなるだけいろいろなパターン考えてほしい。
 

Re: 解と係数の関係3

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 6月19日(月)04時34分22秒
返信・引用
  > No.14462[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

-3を左辺に移行して両辺にαβγを掛けて整理すると
(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=0すなわちbc=0
 

Re: eとπの繋がり方

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 6月19日(月)04時30分10秒
返信・引用
  > No.14461[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> なんとびっくり、
> Σ[m=1...∞] m^(6k+1)/((-e^(π/√3))^m-1)
> Σ[m=1...∞] m^(6k+3)/((-e^(π/√3))^m-1)
> も有理数収束っぽいですよ。
> (わかりにくいですが、π√3 が π/√3 に変わっています)

しかもπ√3のときと同じ値に収束!?
 

レンタル掲示板
/1148