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Re: 5角形、7角形の散歩コース

 投稿者:らすかる  投稿日:2017年 9月22日(金)10時44分20秒
返信・引用 編集済
  > No.14705[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

整理すると
a<b かつ
ab+bc+cd-ac-bd-ad=0 かつ
5(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)^2=n^2
となるa,b,c,dの組を見つけてe=n/2とすればよいので
プログラムで探したところ
(1,172,118,370,341)
という解がありました。
# a=1の解はb,c,d≦5000の範囲でこれ一つだけでした。

GCD(a,b,c,d,e)=1とすると解のeは必ず
http://oeis.org/A004615
の中の値(素因数がすべて5k+1型の素数である数)
になるようですね。
 
 

Re: 5角形、7角形の散歩コース

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 9月22日(金)08時36分34秒
返信・引用
  「2歩、9歩、6歩、12歩、11歩」というのがありました。
さて、「1歩、?、?、?、?」という解はあるんでしょうか?
 

Re: 5角形、7角形の散歩コース

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 9月22日(金)07時54分51秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

GAI さんの提示してくださった小さな数の解が参考になり、多少見通しがよくなりました。
「54歩、138歩、12歩、47歩、121歩」なんかも解ですね。
コースを指定個数作れと言われたら私の手元で多分いくらでも作れるようになったと思います。
(ただし面倒なのであまりやりたくはない)
 

Re: 三角方程式3

 投稿者:y  投稿日:2017年 9月21日(木)16時42分13秒
返信・引用
  > No.14702[元記事へ]

連続投稿で申し訳ありません.
最初の式変形でsinθ≠0とするのを忘れていました.
また,θは鋭角とのことなので,

θ=π/9,2π/7,π/3

でした.お目汚し失礼いたしました.
 

Re: 三角方程式3

 投稿者:y  投稿日:2017年 9月21日(木)16時32分2秒
返信・引用
  > No.14694[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 次の等式が成り立つ鋭角θを全て答えなさい。
>
> cosθcos2θcos4θ=1/8

両辺にsin(θ)を乗じて,
倍角公式sin(A)cos(A)=(1/2)sin(2A)を逐次適用する.

sin(θ)cos(θ)cos(2θ)cos(4θ)=(1/8)sin(θ)
(1/2)sin(2θ)cos(2θ)cos(4θ)=(1/8)sin(θ)
(1/4)sin(4θ)cos(4θ)=(1/8)sin(θ)

∴sin(8θ)=sin(θ)

和積公式sin(A)-sin(B)=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)から,

cos(9θ/2)sin(7θ/2)=0.

よって求めるθは,任意の整数m,nについて,

θ=(2m+1)π/9, 2nπ/7

となる.
 

Re: (無題)

 投稿者:スモークマン  投稿日:2017年 9月21日(木)16時11分6秒
返信・引用
  > No.14699[元記事へ]

S(H)さんへのお返事です。

> 問題
>  一辺が12の正方形ABCDの辺BC上に点Pをとり、角PADの二等分線が辺CDと交わる点をE、
>  CE=k(色々) であるとき、線分APの長さを求めよ。

tanθ=(12-k)/12
tan(2θ)=((12-k)/6)/(1-(1-k/12)^2)=24(12-k)/(k(24-k))
p/12=(12-p)/(12*24(12-k)/(k(24-k))-12)

p=k(24-k)/(2(12-k))・・・
AP=(12^2+p^2)^(1/2)
so…
AP=(12^2+(k(24-k)/(2(12-k))^2)^(1/2)
     =(1/2)√((12/(12-k))^2+575)

かなぁ…^^
 

Re: 三角方程式3

 投稿者:スモークマン  投稿日:2017年 9月21日(木)16時08分52秒
返信・引用
  > No.14694[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 次の等式が成り立つ鋭角θを全て答えなさい。
>
> cosθcos2θcos4θ=1/8

同じようですが…^^

sin(θ)*cos(θ)*cos(2θ)cos(4θ)=(1/8)sin(8θ)=(1/8)sin(θ)
so…
sin(θ)=sin(8θ)
sin(θ)≠0

PCで解くと…

θ=±2π/7, -4π/7, -6π/7 +2π*n
  =π/9, ±5π/9, ±7π/9 +2π*n

手ではどう考えればいいのかいなぁ ^^;
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2017年 9月21日(木)09時50分11秒
返信・引用
  問題
一辺が12の正方形ABCDの辺BC上に点Pをとり、角PADの二等分線が辺CDと交わる点をE、
      CE=k(色々) であるとき、線分APの長さを求めよ。

https://www.youtube.com/watch?v=F2JaJF02o0M

https://inkscape.org/ja/
(<---- ご使用ですか?)
 

Re: 5角形、7角形の散歩コース

 投稿者:DD++  投稿日:2017年 9月21日(木)09時44分19秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

> 「3歩,12歩,6歩,10歩,11歩」

最初の 3 つの歩数比 A:B:C を簡単な整数比で書いたときに、
全部 3 以下になるものを全て試して諦めたのですが、
4 まで広げればすぐにあったのか……

逆回りはあまりに自明で書き忘れました。
 

Re: 三角方程式3

 投稿者:GAI  投稿日:2017年 9月21日(木)09時15分24秒
返信・引用
  > No.14694[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 次の等式が成り立つ鋭角θを全て答えなさい。
>
> cosθcos2θcos4θ=1/8

θ=s*π/9,またはt*π/7
ただしs,tはkを自然数として
s=2*k-1(ただしsは9で割れないとする。)
t=2*k(ただしtは7で割れないとする。)
かな?
 

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