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面積比の計算2

 投稿者:よおすけ  投稿日:2020年12月 1日(火)02時07分16秒
返信・引用
  △ABCの内部に点Pをとり、3AP↑=2PB↑+PC↑ならしめるとき、△BPC、△CPA、△APBの面積比を求めよ。

出典:福岡大学
 
 

Re: 和と積の比

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年11月30日(月)18時26分34秒
返信・引用
  > No.17946[元記事へ]

ksさんへのお返事です。

> ABC=k(A+B+C)でk=3のときの解として、
> (A,B、C)=(3、3、3)(2、3、5)(1、5、9)
> などがあり、無限にある気配?

k=3のときの解が無限にあるか、ということならば
無限にはありません。
A≦B≦Cとすると
A≧4のとき解なし
1≦A≦3でもB≧7ならば解なし
ですから、有限個です。
 

和と積の比

 投稿者:ks  投稿日:2020年11月30日(月)17時25分38秒
返信・引用
  ABC=k(A+B+C)でk=3のときの解として、
(A,B、C)=(3、3、3)(2、3、5)(1、5、9)
などがあり、無限にある気配?
 

Re: 辺と角の美しい関係Ⅱの図

 投稿者:moonlight  投稿日:2020年11月30日(月)08時46分42秒
返信・引用
  某所で話題になってるのでもう少し。
少しイレギュラに見える線を描き込むとほぼ網羅されているようです。

あとアイゼンシュタインという名前が出てきました。
アイゼンシュタイン整数とかの人なのか関係あるのか...

https://pbs.twimg.com/media/En-TdPVVcAESdWA?format=jpg&name=small

 

Re: 辺と角の美しい関係Ⅱの図

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年11月30日(月)05時15分17秒
返信・引用
  > No.17943[元記事へ]

> (5,16,19)などは入りませんが、

(5,16,19)(7,33,37)(9,56,61)(11,85,91)などは、それ自体は入りませんが
第6段が(5,16,19)の3倍
第9段が(7,33,37)の3倍
第12段が(9,56,61)の3倍
第15段が(11,85,91)の3倍
のようになって相似形はかなりカバーされていますね。
(それでも(16,39,49)や(24,95,109)などはカバーされませんが)

互いに素かその3倍のどちらかなので
第1段は(5ft,3ft,7ft)
第2段は(7ft,8ft,13ft)
第3段は(3yd,5yd,7yd)
第4段は(11ft,24ft,31ft)
第5段は(13ft,35ft,43ft)
第6段は(5yd,16yd,19yd)
第7段は(17ft,63ft,73ft)
・・・
のようにft(フィート)とyd(ヤード)の単位を付ければ結構綺麗な図が作れると思います。
 

Re: 辺と角の美しい関係Ⅱの図

 投稿者:りらひい  投稿日:2020年11月30日(月)02時15分44秒
返信・引用
  > No.17939[元記事へ]

moonlightさんへのお返事です。

> 随分昔に描いたものをどうぞ
> https://twitter.com/tsatie/status/1332497641398177796
> とはいえこの先がうまく続きません。
> (5,16,19)などが上手に入れば良いのだけど...
>


(5,16,19)などは入りませんが、
特定の系列を続けるだけならば、
左下から右方向に3,5,7という並びと、
左下から右上60°方向に3,5,7という並びの先に、
奇数を続けていけばいいだけではないでしょうか?

一辺3の正三角形を第0段、
一辺5の正三角形と長さ5,3の平行四辺形を第1段、
一辺7の正三角形と長さ7,8の平行四辺形を第2段、

とする。
第k段の正三角形の一辺の長さは 2k+3 。
第k段の平行四辺形の一つの辺の長さは 2k+3 、
もう一つの辺の長さは k(k+2) 。
第k段の平行四辺形の長いほうの対角線の長さは k^2+3k+3 。

そういう意味ではなかったのならすみません。




ところで「辺と角の美しい関係Ⅱ」に関して次のようなことを思いました。

z^2=x^2+y^2+xy
の自然数解を求めるときに、
z=x+y-t
とおけば、
(x-2t)(y-2t)=3t^2
となるので、
3t^2を二つの自然数の積で表す方法のそれぞれに対して
対応するx,y,zの組が求まる。
 

落書き

 投稿者:カルピス  投稿日:2020年11月30日(月)00時26分23秒
返信・引用
  引き算は嫌いだけど、
小学校で習う「縦の引き算」は大嫌い。。。
 

和と積の比

 投稿者:ks  投稿日:2020年11月29日(日)09時23分16秒
返信・引用
  訂正
C=k+2です。
 

和と積の比

 投稿者:ks  投稿日:2020年11月29日(日)09時09分19秒
返信・引用
  らすかるさん、ありがとうございます。
ABC=k(A+B+C)のとき、A=k,B=2,C=k+1
とおけば、成り立っ。
一般に、文字数を4個以上に、
増やしても同様の解が、得られました。
 

辺と角の美しい関係Ⅱの図

 投稿者:moonlight  投稿日:2020年11月28日(土)10時35分24秒
返信・引用
  随分昔に描いたものをどうぞ
https://twitter.com/tsatie/status/1332497641398177796
とはいえこの先がうまく続きません。
(5,16,19)などが上手に入れば良いのだけど...
 

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