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(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月17日(水)11時38分34秒
返信・引用
  問題集 数学検定に挑戦!    投稿者:よおすけ   投稿日:2018年10月17日(水)10時09分34秒    返信・引用


   公式の解答は以下の通りでした。

220回:
実数x,y,zが
x+y+z=2
を満たすとき
2(xy+yz+zx)
=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
=4-(x^2+y^2+z^2)

x+y+z=2より
(x,y,z)≠(0,0,0)
であるから
x^2+y^2+z^2>0

よって
2(xy+yz+zx)<4
すなわち
xy+yz+zx<2

※管理人様の解答とほぼ同じ

223回:
xy+yz+zx=3なので、

(x+y+z)^2-9
=(x+y+z)^2-3×3
=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=1/2{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}

x,y,zは実数より
{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0

よって、
(x+y+z)^2-9≧0
すなわち
(x+y+z)^2≧9
がわかり
x+y+z≧3 または x+y+z≦-3

※DD++さんの解答に、式変形の補足を加えたものと同じ

>   ■ 意外でなく みんな 対称性kara 恒等式をつくり ■
> ■公式の解答と  やり方が同じ ものなのですねエ------■。

  で 公式の解答に 倣えるか 否か ↓ を お願い致します;

[1]          6*x*y + 9*y*z + z*x = 152
             の時 ↓の m , Mを定め

       x+y+z≧m または x+y+z≦M
が成り立つことを 証明 しなさい。(第243+___ 回準1級2次)

[2]  {(x,y,z)∈R^3|6*x*y+9*y*z+z*x = 152 }
    ∩{(x,y,z)∈R^3|(1/5)*x+(1/2)*y+(1/3)*z=k}=φ
       となる k の 範囲を 定めて 下さい;


 
 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月17日(水)10時41分22秒
返信・引用
  > No.16070[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> 意外とみんなやり方が違うものなのですね。
> 私ならこうかな。
>
> (1)
> 6(xy+yz+zx) = 2(x+y+z)^2 - (x-y)^2 - (y-z)^2 - (z-x)^2 ≦ 8 より
> xy+yz+zx ≦ 4/3 < 2
>
> (2)
> 2(x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + 6(xy+yz+zx) ≧ 18 より
> (x+y+z)^2 ≧ 9 すなわち x+y+z ≦ -3 または x+y+z ≧3


Re: 問題集 数学検定に挑戦!  投稿者:DD++  投稿日:2018年10月17日(水)09時15分58秒


>   意外とみんなやり方が違うものなのですね。
>      私ならこうかな。

>(1)
6(xy+yz+zx) = 2(x+y+z)^2 - (x-y)^2 - (y-z)^2 - (z-x)^2 ≦ 8 より
        xy+yz+zx ≦ 4/3 < 2

> (2)
2(x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + 6(xy+yz+zx) ≧ 18 より
(x+y+z)^2 ≧ 9 すなわち x+y+z ≦ -3 または x+y+z ≧3

    特に (2) ナラ  私は ↓ KARA  自明すぎです!

   ●x*y + y*z + z*x = 3 が two-sheeted hyperboloid●
    da KARA!     x+y+z ≦ -3 または x+y+z ≧3  は視れば自明!。


            標準形になっていない
  各2次曲面Sを創作し 各S について 上の如き問が問える問題を指摘し
        多様な発想で解いて下さい;
 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~sakane/shudaibetu/05Bezier14.pdf



    ↓を 再度 臥して お願い申し上げます;

> 実数x,y,zがxy+yz+zx=3を満たすならば、x+y+z≧3 または x+y+z≦-3が成り立つことを示しなさい。(第243回 問題集 数学検定 だそうです)

実数x,y,zがx*y+y*z+z*x=3を満たすならば、↑は対称性が在り過ぎ ■嫌や188■
http://www.caa.go.jp/policies/policy/local_cooperation/local_consumer_administration/hotline/pdf/hotline_180726_0001.pdf
        との 声 巷に 在りて 改竄;

   1*x + 8*y + 8*z≧M または 1*x + 8*y + 8*z≦m
    が成り立つ ような M,m が 存在することを
       ■是非 多様な発想で■ 示して下さい!


    世界の人の為す   束縛条件のもとで最適化を行うための
    ラグランジュの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
                は 必ず 具現願います;

http://www.appps.jp/199250/

 

問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:よおすけ  投稿日:2018年10月17日(水)10時09分34秒
返信・引用
  公式の解答は以下の通りでした。

220回:
実数x,y,zが
x+y+z=2
を満たすとき
2(xy+yz+zx)
=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
=4-(x^2+y^2+z^2)

x+y+z=2より
(x,y,z)≠(0,0,0)
であるから
x^2+y^2+z^2>0

よって
2(xy+yz+zx)<4
すなわち
xy+yz+zx<2

※管理人様の解答とほぼ同じ

223回:
xy+yz+zx=3なので、

(x+y+z)^2-9
=(x+y+z)^2-3×3
=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=1/2{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}

x,y,zは実数より
{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0

よって、
(x+y+z)^2-9≧0
すなわち
(x+y+z)^2≧9
がわかり
x+y+z≧3 または x+y+z≦-3

※DD++さんの解答に、式変形の補足を加えたものと同じ
 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:DD++  投稿日:2018年10月17日(水)09時15分58秒
返信・引用
  意外とみんなやり方が違うものなのですね。
私ならこうかな。

(1)
6(xy+yz+zx) = 2(x+y+z)^2 - (x-y)^2 - (y-z)^2 - (z-x)^2 ≦ 8 より
xy+yz+zx ≦ 4/3 < 2

(2)
2(x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + 6(xy+yz+zx) ≧ 18 より
(x+y+z)^2 ≧ 9 すなわち x+y+z ≦ -3 または x+y+z ≧3
 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:GAI  投稿日:2018年10月17日(水)08時46分32秒
返信・引用 編集済
  > No.16068[元記事へ]

りらひいさんへのお返事です。

> nを2以上の整数、x[1],…,x[n]を実数とすると、次の式が成り立つ。
> (Σ[i=1~n]x[i])^2 = (n/(n-1))*{ 2*(Σ[i<j]x[i]x[j]) + Σ[k=1~n-1]((Σ[i=1~k]x[i])-k*x[k+1])^2/(k(k+1)) }


らすかるさんの変形式でもよくこんな式が成立するなと感心していましたが、これがこんな一般式に
広げられるとは驚きです。
確かに
(x1+x2+x3+x4)^2=
8/3*(x1*x2+x1*x3+x1*x4+x2*x3+x2*x4+x3*x4)+
1/9*{(x1+x2+x3-3*x4)^2+2*(x1+x2-2*x3)^2+6*(x1-x2)^2)}

(x1+x2+x3+x4+x5)^2=
5/2*(x1*x2+x1*x3+x1*x4+x1*x5+x2*x3+x2*x4+x2*x5+x3*x4+x3*x5+x4*x5)+
1/48*{3*(x1+x2+x3+x4-4*x5)^2+5*(x1+x2+x3-3*x4)^2+10*(x1+x2-2*x3)^2+30*(x1-x2)^2)}

........................................

が成立していくことはビックリです。








 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:りらひい  投稿日:2018年10月17日(水)01時24分13秒
返信・引用
  > No.16064[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

> (x+y+z)^2=3(xy+yz+zx)+{(x+y-2z)^2+3(x-y)^2}/4≧3(xy+yz+zx) から

ということは・・・
次の関係式を使うと自由に問題が作れるということですね。
高い次数の問題は解く気がおきないでしょうけど。

nを2以上の整数、x[1],…,x[n]を実数とすると、次の式が成り立つ。
(Σ[i=1~n]x[i])^2 = (n/(n-1))*{ 2*(Σ[i<j]x[i]x[j]) + Σ[k=1~n-1]((Σ[i=1~k]x[i])-k*x[k+1])^2/(k(k+1)) }
 

Re: リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年10月16日(火)23時24分2秒
返信・引用
  > No.16066[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

一休さん的な頓知に気がつきました。

あなたはボスに言う。
「では、ボスが心から信頼している、本部の金庫番に命じて、本物の金貨を21枚、偽物の金貨を21枚、持ってくるように命じてください。私は天秤を2回だけ使って持参したコインの証を立てましょう。」

するとボスが言う。
「本部の金庫番は昨日、お前に与えたのと同じ命令をだし、その証を天秤で示せと命じたが、失敗した。無能な者はテムズ川の魚のエサにならなければならぬ。そして今朝、そうなったのだ。」


 

リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年10月16日(火)22時41分51秒
返信・引用
  あなたは盗賊団の支部のアジトの金庫番だ。

支部の金庫には、重さがAグラムの金貨とBグラムの贋金貨とが多量に納められている。ちなみに、安価な混ぜ物の入った贋金貨のほうが微妙に軽い。盗賊団のメンバーは全員これらのことを知っている。

ある日、あなたは盗賊団本部にいるボスから
「支部の金庫から金貨と贋金貨とを21枚づつ取りだし、おのおの別々の袋に入れて持って来い。」
との命令を受けた。

さっそく用意をして、命令通りに本部に持参した。

するとボスが言う。
「金貨およびに贋金貨につき、命令通りの枚数があるかどうか、ここにある天秤を4回だけ使って俺に証明しろ。(天秤には付属の分銅などの錘はない。)証明できなければお前には制裁を加える。俺たちの団に無能は要らないからな。」

震え上がったあなただが、さていったいどうすればよいだろうか?

※持参した42枚のコインはくだんの金貨または贋金貨だけであることを、ボスも認識している。すなわち第3のコインはない。きちんと21枚づつ持参しているかどうかが問われている。また、ボスは、金貨が全て同じ重さであること、贋金貨もまた全て同じ重さであること、贋金貨のほうが金貨よりも軽いことを認識している。ボスは数理には強いのであなたの証明を理解してくれる。


===

以下のblogの記事に改変を加えて出題しております。15枚づつではなく21枚づつでOKとの改良を加えました。

●Another Cool Coin-Weighing Problem∥(Tanya Khovanova's Math Blog)

( https://blog.tanyakhovanova.com/2018/08/another-cool-coin-weighing-problem/ )
 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月16日(火)08時09分10秒
返信・引用
  > No.16061[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 問題提供です。
>
> 実数x,y,zがx+y+z=2を満たすならば、xy+yz+zx<2が成り立つことを示しなさい。(第220回)
>
> 実数x,y,zがxy+yz+zx=3を満たすならば、x+y+z≧3 または x+y+z≦-3が成り立つことを示しなさい。(第243回)
>
> ※いずれも、準1級2次の問題6。問題パターンがほぼ同じなのでまとめて挙げました。

> 実数x,y,zがxy+yz+zx=3を満たすならば、x+y+z≧3 または x+y+z≦-3が成り立つことを示しなさい。(第243回)

実数x,y,zがx*y+y*z+z*x=3を満たすならば、↑は対称性が在り過ぎ ■嫌や188■
http://www.caa.go.jp/policies/policy/local_cooperation/local_consumer_administration/hotline/pdf/hotline_180726_0001.pdf
        との 声 巷に 在りて 改竄;

   1*x + 8*y + 8*z≧m または 1*x + 8*y + 8*z≦M
    が成り立つ ような m,M が 存在することを
       ■是非 多様な発想で■ 示して下さい!
    世界の人の為す   束縛条件のもとで最適化を行うための
    ラグランジュの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
                は 必ず 具現願います;

http://www.appps.jp/199250/

 

Re: 問題集 数学検定に挑戦!

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年10月16日(火)01時31分35秒
返信・引用 編集済
  > No.16061[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 実数x,y,zがx+y+z=2を満たすならば、xy+yz+zx<2が成り立つことを示しなさい。(第220回)
> 実数x,y,zがxy+yz+zx=3を満たすならば、x+y+z≧3 または x+y+z≦-3が成り立つことを示しなさい。(第243回)

(x+y+z)^2=3(xy+yz+zx)+{(x+y-2z)^2+3(x-y)^2}/4≧3(xy+yz+zx) から
x+y+z=2のとき3(xy+yz+zx)≦(x+y+z)^2=4すなわちxy+yz+zx≦4/3<2
xy+yz+zx=3のとき(x+y+z)^2≧3(xy+yz+zx)=9なので|x+y+z|≧3
 

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