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Re: ファウルハーバーの定理について

 投稿者:at  投稿日:2018年 8月 7日(火)19時14分53秒
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  > No.15798[元記事へ]

> S(k)=1^k+2^k+・・・+n^k とする
> このとき
> k:奇数の場合 → S(k)は、S(1)の多項式で表される。
> k:偶数の場合 → S(k)は、S(2)で割れ、その商は、また、S(1)の多項式で表される。
> という性質があり、この証明は以下のサイトでそこまで難しくないと書かれていたのですが、自分は全く分かりませんでした。
> 誰か教えてください。


正整数 m,n に対して,S[m]を,
S[m]=1^m + 2^m + … + n^m
で定める.
二項係数を C(k,r) とし,r<0 のときは  C(k,r)=0 とする.


kを任意の正整数とする.次の(1),(2)が成り立つ.

(1) S[2*k-1]は,(S[1])^k,S[3],S[5],…,S[2*k-3] の線形結合で表すことができる.

(2) S[2*k]は,S[2],S[4],S[6],…,S[2*k-2] の線形結合で表すことができる.


(1)の証明:
(2*S[1])^k
=(n*(n+1))^k
=Σ[m=1..n]((m*(m+1))^k - ((m-1)*m)^k)
=Σ[m=1..n](m^k)*((m+1)^k - (m-1)^k)
=Σ[m=1..n](m^k)*(Σ[r=0..k]C(k,r)*(m^r) - Σ[r=0..k]C(k,r)*(m^r)*(-1)^(k+r))
=Σ[m=1..n]Σ[r=0..k]C(k,r)*(m^(k+r))*(1-(-1)^(k+r))
=Σ[r=0..k]Σ[m=1..n]C(k,r)*(m^(k+r))*(1-(-1)^(k+r))
=Σ[r=0..k]C(k,r)*S[k+r]*(1-(-1)^(k+r))
=Σ[r≦k, k+rは奇数]C(k,r)*S[k+r]*2
=Σ[r≦k-3, k+rは奇数]C(k,r)*S[k+r]*2 + k*S[2*k-1]*2.

よって,
S[2*k-1]=(1/(2*k))*((2*S[1])^k - 2*Σ[r≦k-3, k+rは奇数]C(k,r)*S[k+r]).---(★)
この等式によって,(1)の成立が証明できた.



(2)の証明:
6*S[2]*(2*S[1])^(k-1)
=(2*n+1)*(2*S[1])^k
=(2*n+1)*(n*(n+1))^k
=Σ[m=1..n]((2*m+1)*(m*(m+1))^k - (2*m-1)*((m-1)*m)^k)
=Σ[m=1..n]Σ[r=0..k]C(k,r)*(m^(k+r))*((2*m+1) - (2*m-1)*(-1)^(k+r))
=Σ[r=0..k]Σ[m=1..n]C(k,r)*(m^(k+r))*((2*m+1) - (2*m-1)*(-1)^(k+r))
=Σ[r=0..k]Σ[m=1..n](C(k,r)*2*(m^(k+r+1))*(1 + (-1)^(k+r+1)) + C(k,r)*(m^(k+r))*(1 + (-1)^(k+r)))
=Σ[r=0..k](C(k,r)*2*S[k+r+1]*(1 + (-1)^(k+r+1)) + C(k,r)*S[k+r]*(1 + (-1)^(k+r)))
=Σ[r≦k, k+rは偶数](C(k,r-1)*2*S[k+r]*2+C(k,r)*S[k+r]*2)
=Σ[r≦k, k+rは偶数]S[k+r]*(4*C(k,r-1)+2*C(k,r))
=Σ[r≦k-2, k+rは偶数]S[k+r]*(4*C(k,r-1)+2*C(k,r)) + S[2*k]*(4*k+2).

よって,
S[2*k]=(1/(4*k+2))*(6*S[2]*(2*S[1])^(k-1) - Σ[r≦k-2, k+rは偶数]S[k+r]*(4*C(k,r-1)+2*C(k,r))).---(★★)
この等式によって,(2)の成立が証明できた.



(★)において,k=1,2,3,4,… を順次代入することによって,S[1],S[3],S[5],S[7],… を,
S[1]の多項式で表すことができる.

S[1]=(1/2)*(2*S[1])=S[1],

S[3]=(1/4)*((2*S[1])^2)=S[1]^2,

S[5]
=(1/6)*((2*S[1])^3 - 2*(C(3,0)*S[3]))
=(1/6)*((2*S[1])^3 - 2*(S[1])^2)
=(4/3)*(S[1])^3 - (1/3)*(S[1])^2,

S[7]
=(1/8)*((2*S[1])^4 - 2*C(4,1)*S[5]))
=(1/8)(16*(S[1])^4 - 2*4*S[5])
=2*(S[1])^4 - S[5]
=2*(S[1])^4 - (4/3)*(S[1])^3 + (1/3)*(S[1])^2,





(★★)において,k=1,2,3,4,… を代入することによって,S[2],S[4],S[6],S[8],…を,
S[2]*(S[1]の多項式) の形で表すことができる.

S[2]=(1/6)*(6*S[2])=S[2],

S[4]
=(1/10)*(6*S[2]*(2*S[1])-S[2]*(4*C(2,-1)+2*C(2,0)))
=(1/10)*(12*S[2]*S[1]-S[2]*(4*0+2*1))
=(1/10)*(12*S[2]*S[1]-S[2]*2)
=S[2]*((6/5)*S[1]-1/5),

S[6]
=(1/14)*(6*S[2]*(2*S[1])^2-S[4]*(4*C(3,0)+2*C(3,1)))
=(1/14)*(24*S[2]*(S[1])^2-10*S[4])
=(1/14)*(24*S[2]*(S[1])^2-(S[2]*(12*S[1]-2)))
=S[2]*((12/7)*(S[1])^2-(6/7)*S[1]+1/7),

S[8]
=(1/18)*(6*S[2]*(2*S[1])^3-S[4]*(4*C(4,-1)+2*C(4,0))-S[6]*(4*C(4,1)+2*C(4,2)))
=(1/18)*(48*S[2]*(S[1])^3-2*S[4]-28*S[6])
=(1/18)*S[2]*(48*(S[1])^3-2*((6/5)*S[1]-1/5)-28*((12/7)*(S[1])^2-(6/7)*S[1]+1/7))
=S[2]*((8/3)*(S[1])^3-(8/3)*(S[1])^2+(6/5)*S[1]-1/5),





参考資料:
https://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/2975368.pdf.bannered.pdf
Theorem 3.1
 
 
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