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F[n]=2^(2^n)+1(n=0,1,2,・・・)をフェルマー数といいます。
F[0]=2^1+1=3, F[1]=2^2+1=5, F[2]=2^4+1=17,
F[3]=2^8+1=257, F[4]=2^16+1=65537
はいずれも素数ですが、
F[5]=2^32+1=4294967297
は合成数です(4294967297=641×6700417)。実は、F[n](n≧5)の中に,素数であることが確かめられたものはまだ1つもありません。
ここでは,比較的簡単な考察によってわかるフェルマー数の性質について考えます。次の問いに答えなさい。
(1)m,nをm＜nを満たす0以上の整数とします。このとき,F[n]-2はF[m]で割り切れることを示しなさい。
(2)次の命題は真ですか偽ですか。真ならばそのことを証明し,偽ならば反例を挙げなさい。
『相異なる2つのフェルマー数の最大公約数はつねに1である。』
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