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Re: 等差数列と3次方程式

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年 8月 1日(土)23時51分14秒
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  > No.17749[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> 方程式 x^3+ax^2+bx+15=0の3つの解を適当に並べると,等差数列になっているという。
> 1つの解が-3であるとして,可能なa,bの値をすべて求めよ。

-3以外の2解をα,βとすると、解と係数の関係からαβ=(-15)/(-3)=5
等差数列の公差が0のときαβ=9となり不適なので、α<βとしてよい。
α<β<-3のときαβ>9なので不適
α<-3<βのときα+β=-6なのでα=-5, β=-1
このときa=-(α+β+(-3))=9, b=αβ+(-3)(α+β)=23
-3<α<βのときβ-3=2αから(α,β)=(1,5),(-5/2,2)
(α,β)=(1,5)のときa=-(α+β+(-3))=-3, b=αβ+(-3)(α+β)=-13
(α,β)=(-5/2,-2)のときa=-(α+β+(-3))=15/2, b=αβ+(-3)(α+β)=37/2
従って可能なa,bの値は
(a,b)=(9,23),(-3,-13),(15/2,37/2)
 
 
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