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Re: 無限回の合成

 投稿者:GAI  投稿日:2020年 9月12日(土)07時44分26秒
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  > No.17811[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。


f(x)=x+x^2/n で
nを固定して、そのk回の合成 f(f(・・・f(x)・・・))をy[k]で表すと
y[k+1]=y[k]+1/n*y[k]^2・・・・・・・①
y[0]=x
の漸化式で表せる。

ある関数Y(x)で
Y((k+1)/n)=Y(k/n)+1/n*Y(k/n)^2 が成立しているとすれば
Y(k/n+1/n)-Y(k/n)=1/n*Y(k/n)^2
ここで
k/n=t,1/n=hと見なせば
Y(t+h)-Y(t)=h*Y(t)^2
から
Y(k/n)=y[k]とすれば①は
Y(t)'=Y(t)^2・・・・・・・・②
Y(0)=x
の解ととれる。
これを変数分離で解けば
Y^(-2)dY=dt
-1/Y=t+C (C:積分定数)
t=0 でY=x よりC=-1/x
よって
Y(t)=x/(1-t*x)

ここで
k=n*tからn→∞の時 y[k]=y[n*t]→Y(t)
n回の合成 f(f(・・・f(x)・・・))に対しては
k=n よりt=1となり
n→∞の時、合成 f(f(・・・f(x)・・・))→Y(1)=x/(1-x)
 
 
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