teacup. [ 掲示板 ] [ 掲示板作成 ] [ 有料掲示板 ] [ ブログ ]

 <思いやりのあるコミュニティ宣言>
 teacup.掲示板は、皆様の権利を守りながら、思いやり、温かみのあるコミュニティづくりを応援します。
 いつもご協力いただきありがとうございます。

 投稿者
  題名
  内容 入力補助 youtubeの<IFRAME>タグが利用可能です。(詳細)
    
 URL
[ ケータイで使う ] [ BBSティッカー ] [ 書込み通知 ] [ 検索 ]


(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2020年10月17日(土)21時50分3秒
返信・引用
  https://geogebra.jp.uptodown.com/windows
E--------------------------------------------なア
 
 

Re: 連分数の活用

 投稿者:DD++  投稿日:2020年10月17日(土)11時43分40秒
返信・引用 編集済
  GAIさんへのお返事です。
> 作図せよの要求にこの近似が達成できれば作図されるにしてほしいものだ。

一辺 (2143/22)^(1/8) の正方形を作図して円積問題の解と認めるべきだと言うなら、
では一辺 (22/7)^(1/2) の正方形を作図したものも認められるべきでしょうか?
あるいは、一辺 3^(1/2) の正方形ではどうでしょう?
さらには、一辺 2 の正方形では?(円周率を二進法で書いて一の位を丸めると考えれば π≒100(2)=4(10) は確かに近似値です)
 

連分数の活用

 投稿者:GAI  投稿日:2020年10月16日(金)18時31分14秒
返信・引用 編集済
  円積問題という半径1の円の面積と同じ面積を有する正方形をコンパスと定規だけで
作図せよ。
書物によるとこれに人類は2000年以上挑戦し続け、ついに1882年ドイツの数学者の
フェルディナント・フォン・リンデマンが円周率πが超越数であることを示し、
この問題を作図不可能という証明を成し遂げたとある。
証明となる内容はよく理解できないが、そうなんだ。出来ないのか!
とそれ以上深く考えようともせず本日まで過ごしてきたように思う。

これに対しかのインドの天才ラマヌジャンが1910年インドの数学会の論文集にこの
リンデマンの定理が取り上げられているのを見て刺激を受け、次のことを考え付いたとある。
π^4を連分数表示にすると
gp > contfrac(Pi^4)
%130 = [97, 2, 2, 3, 1, 16539, 1, 6, 7, 6, 8, 6, 3, 9, 1, 1, 1,・・・・・]
と途中に大きい数字(16539)が出現する。
連分数の性質上この大きくなる手前で打ち切れば、とてもよい近似分数が作れる。
[97, 2, 2, 3, 1](=[97, 2, 2, 4])
を分数にすれば
97+1/(2+1/(2+1/4))=97+9/22=2143/22

π^4≒2143/22
よって
√π≒(2143/22)^(1/8)  (求める正方形の一辺の長さに相当)
これを計算機で確認すると
gp > sqrt(Pi)
%133 = 1.7724538509055160272981674833411451828
gp > sqrtn(2143/22,8)
%132 = 1.7724538506214050720756122694090809451
何と小数点以下9位まで一致してくる。

後は97+9/22
を考えると、円の半径を1に対応させれば、その97倍は作図可能
直線上Oから22の距離にA,反対側に9の距離をBとし、この直線にO
で垂直になるよう垂線を引き、Oから1の距離にCをとる。
AとCを通る直線L1を引く。
L1に平行でBを通る直線L2を引く。
これと先のOを通っている垂線との交点をDとすれば
2つの直角三角形
△OAC∽△OBDでその大きさの比が22:9であることからOD=9/22
が作図可能となる。
従って2を合わすことで97+9/22=2143/22は作図可能
更に
一般にaの長さに対し直径がa+1である円を構成することにより√aも作図可能となる。
(aと1のつなぎ目(G)で垂線を立て、円との交点をPとすればGP=√aを与える。)
のでこの作業をa=2143/22に対して三度繰り返し行えば(2143/22)^(1/8)は作図可能となる。

この作図でできた一辺を用いて正方形を描けばよい。


ところで数学にどっぷりつかっている人は、
「これはあくまでも近似であり、正確に作図されたわけではないだろう!」
と声高に言われるでしょう。

しかし正5角形は作図可能と証明も含めよく理解はできるが、いざその方法で定規とコンパスで
描こうと実施するも、ピタリ5回で元の位置にコンパスの線が書けているかは甚だ怪しいもんである。
数学で言う厳密とは、甚だしく厳密を指し、またこれがたまらなくいいのだと感じる人もいるとは思うが
どうも私はこの辺が肌身に合わない。
ラマヌジャンのように、限りなく近づけれる方法を編み出す方にひかれてしまう。

作図せよの要求にこの近似が達成できれば作図されるにしてほしいものだ。


 

Re: 連分数

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年10月13日(火)06時18分18秒
返信・引用
  > No.17873[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

11, 1223, 37201, 152563の続きを1億まで調べました。

11, 1223, 37201, 152563, 1273681, 1324871, 3052421, 3215081,
3487129, 3912061, 7203913, 11132413, 11835289, 12435767,
12526537, 12714253, 12824453, 12979433, 13454923, 13462201,
13910621, 13933123, 14166233, 14285837, 14526779, 15419293,
15623347, 17345129, 17663213, 18277643, 18528143, 19257437,
19549273, 19884223, 30944621, 31449527, 32061431, 32194853,
32237041, 32412001, 32412587, 32812547, 33425317, 34211183,
34250191, 34276169, 34321583, 34561279, 35742167, 35800231,
36610271, 38524501, 39392159, 70355821, 71204333, 72735041,
73234013, 75411023, 78052301, 91000423, 93063241, 94261303,
97620431
桁が多くなるとどんどん増える感じですね。
 

Re: 連分数

 投稿者:GAI  投稿日:2020年10月13日(火)05時37分26秒
返信・引用 編集済
  > No.17872[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。


> このうち連分数表記の値がすべて一桁であるものは
> 11, 1223, 37201, 152563
> です。

これをやっとの思いで探せて、その先をと思い素数を中途半端に大きくしていたので
なかなか見つからず、

> > 素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。
なる感想を抱いたんですが

> 多分、素数が巨大になればq<pとなるものはすべて条件を満たすようになりますよね。
> (0~9をすべて含むようになるので)

のご指摘からなるほどと思い直しました。
(素数は無限個あるんですものね。探している世界があまりにも狭すぎた!)
指摘されたhttps://oeis.org/A050288
での10000個の素数で改めてチェックすれば

10138624579=>[0, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 2, 2, 9, 1, 1, 1, 8, 3, 7, 1, 4, 6, 1, 1, 3, 2, 3]
10142386759=>[0, 9, 2, 3, 1, 5, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 7, 1, 4, 4, 3, 6, 2]
10153486729=>[0, 9, 7, 3, 8, 8, 1, 5, 1, 1, 6, 1, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 7, 1, 1, 1, 5]
10184962357=>[0, 7, 2, 1, 1, 9, 6, 1, 1, 4, 5, 5, 3, 1, 3, 2, 8, 3, 3, 2, 3, 5]
10219845367=>[0, 7, 2, 8, 5, 4, 1, 2, 2, 3, 7, 1, 6, 1, 3, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 9, 4]
10238586947=>[0, 7, 3, 9, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 5, 1, 2, 8, 1, 2, 7, 7, 1, 1, 2, 4]
10243856879=>[0, 9, 1, 1, 4, 6, 7, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 8, 1, 3, 5, 1, 5, 2, 4, 1, 2, 1, 3]
10245698237=>[0, 7, 6, 1, 1, 8, 1, 3, 1, 9, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 5, 3, 1, 4, 1, 1, 6, 4, 2]
10246387259=>[0, 9, 3, 2, 1, 7, 6, 3, 1, 1, 2, 7, 8, 2, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 1, 5]
10247826539=>[0, 9, 7, 1, 2, 4, 4, 2, 8, 1, 3, 7, 2, 3, 2, 3, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 5]
10252689347=>[0, 7, 3, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 9]
10253169847=>[0, 7, 3, 3, 1, 1, 5, 9, 4, 8, 2, 7, 1, 8, 1, 8, 1, 2, 2, 3, 6]
10256547893=>[0, 3, 1, 7, 1, 9, 1, 1, 1, 8, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 6, 1, 3, 1, 4, 5, 8]
10259436487=>[0, 7, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 3, 2, 8, 6, 4, 1, 9, 5, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 8]
10262395487=>[0, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 5, 1, 8, 2, 9, 2, 3, 4, 3, 2, 6, 2, 4, 1, 2, 2, 2]
10263557489=>[0, 9, 1, 1, 2, 7, 8, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 5, 5, 6, 1, 2, 3]
10267543289=>[0, 9, 1, 1, 3, 4, 1, 8, 7, 5, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 6, 1, 5, 2]
が一桁の数字で構成されました。
ただしこの中で分母に相当する逆順の数(95278364201)が素数の条件を満たすものは
10246387259 だけでした。
即ち
10246387259/95278364201
は分子、分母共に素数でその数字の並びは全く逆、またその連分数表示は
=[0, 9, 3, 2, 1, 7, 6, 3, 1, 1, 2, 7, 8, 2, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 1, 5]
と0~9の数字が全て一桁の姿で出現する。


私的感想ですがもう無いだろうと探しながら152563がヒットした時は妙にうれしかったです。
昔大海原に船を漕ぎだした古代人が、何日も航海した後で遠くに島影を見たときに感じたであろう感覚を共有した思いでした。

なおこの話題とはちょっとズレますが
98473/37489の素数での分数の連分数表示が循環小数を思わせる
[2,1,1,1,2,8,1,2,1,1,1,2,8,2]
になってしまうことも興味を引きました。


 

Re: 連分数

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年10月12日(月)22時38分45秒
返信・引用
  > No.17870[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。
多分、素数が巨大になればq<pとなるものはすべて条件を満たすようになりますよね。
(0~9をすべて含むようになるので)

> もしこの条件に合う通常な素数がありましたらお知らせ下さい。
適当に探したところ、条件を満たすものは
11, 1223, 11243, 37201, 109211, 112901, 126443,
152563, 170243, 326143, 342071, …
のようになりました。
このうち連分数表記の値がすべて一桁であるものは
11, 1223, 37201, 152563
です。
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2020年10月12日(月)21時30分24秒
返信・引用
                           空欄に 挿入を;
配送先が全部で18ヵ所あり、それを3台のトラックで6ヵ所ずつ担当するとした場合、
考えられる選択肢は__の階乗、つまり約____________兆通りも
       配送ルートの選択肢が存在してしまいます。
もし上記のような条件で「総当たり方式」で一番良い選択(最適解)を求めようとすれば、どんなに優れたコンピューターを使っても1日以上、長ければ数日間は計算に時間が掛かってしまいます。
 

Re: 連分数

 投稿者:GAI  投稿日:2020年10月12日(月)18時55分10秒
返信・引用 編集済
  > No.17869[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。


>
> もし「連分数表示で使われる数字の集合が元の素数で使われている
> 数字の集合と一致しなければならない」という条件でしたら、
> 11,1111111111111111111,11111111111111111111111
> という回答に変更します。

この意味で出題したのですが(元の素数の数字は全て出現するものに絞る。)
なるほど、これらの特殊な素数は立派にその条件を満たすことになりますね。
こちらの意図を見事に外されてしまいました。

なお遊びで素数での分数を連分数にしていて眺めていたら
3221/1223=[2,1,1,1,2,1,2,2,1,3,3]
となり、正にp=1223,q=3221はどちらも素数で、
連分数表示はこれに使われている数字をもれなく含んでいて、とても珍しく
感じたので他にそんなものは存在できないのだろうか?
と思ったのが動機でした。
自分なりに探していたら(流れる画面とにらめっこなので見落としているかもしれないが)
今のところあと2タイプ探し出しました。
素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。
もしこの条件に合う通常な素数がありましたらお知らせ下さい。





 

Re: 連分数

 投稿者:らすかる  投稿日:2020年10月12日(月)15時29分4秒
返信・引用 編集済
  > No.17868[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 従ってpで使われている0,8,9,5,6が現れませんが?

「q/pの連分数表示で使われる数字が
元の素数p(もしくはq)で使用していた数字のみで構成され」ていますので
問題文に書かれている条件は満たしていると思います。
元の素数pで使用していない数字は含まれていませんよね。
(例えば「奇数の数字(1,3,5,7,9)のみで構成されている素数」と言ったら
 131とか157も該当しますよね?)

もし「連分数表示で使われる数字の集合が元の素数で使われている
数字の集合と一致しなければならない」という条件でしたら、
11,1111111111111111111,11111111111111111111111
という回答に変更します。
 

Re: 連分数

 投稿者:GAI  投稿日:2020年10月12日(月)14時19分27秒
返信・引用
  > No.17865[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。


>
> では連分数表示を計算しなくて済むように10個
> 10124389567, 10124563789, 10124597683, 10124635897, 10124673859,
> 10124687359, 10124695783, 10124735689, 10124795683, 10124867359

例えば
p=10124389567 は
確かに素数でその逆順数のq=76598342101も素数となるが、q/pの連分数は

gp > contfrac(76598342101/10124389567)
%352 = [7, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 7, 1, 21, 3, 1, 4, 21, 3]

従ってpで使われている0,8,9,5,6が現れませんが?
 

レンタル掲示板
/1484