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ある式を確認してみて思うこと

 投稿者:GAI  投稿日:2018年12月 4日(火)15時34分29秒
返信・引用 編集済
  以前マチンの公式をさらに進化させた円周率を求める近似方法として

π/4=12*arctan(1/49)+32*arctan(1/57)-5*arctan(1/239)+12*arctan(1/110443)

が紹介されていた。
これを公式だけを頼りに証明してみた。
ただし計算はソフトを利用した。
[x]:=arctan(x)と表すことにする。
12*arctan(1/49)=6*(2[1/49])

2[x]=[2*x/(1-x^2)]から
gp > 2/49/(1-(1/49)^2)
%251 = 49/1200
gp >2*%251/(1-%251^2)
%254 = 117600/1437599
よって
12*arctan(1/49)=3*[%254]

ここで
3[x]=[(x^3-3*x)/(3*x^2-1)]
から
gp > (%254^3-3*%254)/(3*%254^2-1)
%277 = 727502164381792800/2911427801860312799

同じく
32*arctan(1/57)
gp > 1/57
%268 = 1/57
gp > 2*%268/(1-%268^2)
%269 = 57/1624
gp > 2*%269/(1-%269^2)
%270 = 185136/2634127
gp > 2*%270/(1-%270^2)
%271 = 975343472544/6904349713633
gp > 2*%271/(1-%271^2)
%272 = 13468224850705964395984704/46718750078709900624226753
gp > 2*%272/(1-%272^2)
%273 = 1258437261608003827417436088483220732017476031172224/
       2001248528287782648828504442719364153615241358955393

また
5[x]=[(x^5-10*x^3+5*x)/(5*x^4-10*x^2+1)]
から
5*arctan(1/239)は
gp > 1/239
%279 = 1/239
gp > ((%279)^5-10*(%279)^3+5*(%279))/(5*%279^4-10*%279^2+1)
%280 = 4078367999/194918686801

最後に12*arctan(1/110443)は
gp > 1/110443
%274 = 1/110443
gp > 2*%274/(1-%274^2)
%275 = 110443/6098828124
gp > 2*%275/(1-%275^2)
%276 = 1347145748997864/37195704473895703127
gp > (%276^3-3*%276)/(3*%276^2-1)
%278 = 5591411000625584861155181978021667341047545829855840824/
     51461016894072118290173182441350333304888274623920577734407

よって証明すべき右辺
=[%277]+[%273]-[%280]+[%278] となる。

ここに
[x]+[y]=[(x+y)/(1-x*y)]
-[x]=[-x]
であるから
上記の計算は前2つ、後ろ2つをまず計算し
gp > (%277+%273)/(1-%277*%273)
%281 = 5119761866137741361052667263968555041359243993953481601974447849065376/
       4910974772130565865410501314518795312702645201493819522097404184787807
gp > (%278-%280)/(1+%278*%280)
%282 = -208787094007175495642165949449759728656598792459662079877043664277569/
       10030736638268307226463168578487350354061889195447301124071852033853183
この2つの結果から
gp > (%281+%282)
%283 = 50329634778461071217643425838009844434612506230709140341201057393087568
       588373647403868170886777886653684621620641337358392775058746337890625/
       49260694576421418366186235886844375957921339683702076150110094066113181
       950258478565593846118918795287689744860927143108616409201151446539681
gp > (1-%281*%282)
%284 = 50329634778461071217643425838009844434612506230709140341201057393087568
       588373647403868170886777886653684621620641337358392775058746337890625/
       49260694576421418366186235886844375957921339683702076150110094066113181
       950258478565593846118918795287689744860927143108616409201151446539681
最後に
gp > %283/%284
%285 = 1  (こんなに大きな桁同士の分数が全く同じになれることは驚いた。)

正にこのことは右辺の計算結果がπ/4に等しいことを示す。

逆にこんな複雑な式をよくも考えつくものだと感心します。
さらにこの話題の時に、らすかるさんが確か

π/4=183*[1/239]+32*[1/1023]-68*[1/5832]+12*[1/110443]-12*[1/4841182]-100*[1/6826318]

もありますとさらりと示されていたことがありましたが、もうこれはコンピュータでも確認する気が起きません。
一体全体こんな式はどうやって導きだされているのでしょうか?
こんな式を生み出せるアルゴリズムがあれば、円周率に最も速く収束させられる手段になるんでしょうが・・・





 
 

Re: 数学検定に挑戦!

 投稿者:よおすけ  投稿日:2018年12月 4日(火)13時35分3秒
返信・引用
  > No.16204[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

出典:第238回 実用数学技能検定準1級2次 問題5
 

数学検定に挑戦!

 投稿者:よおすけ  投稿日:2018年12月 4日(火)13時32分22秒
返信・引用
  F[n]=2^(2^n)+1(n=0,1,2,・・・)をフェルマー数といいます。

F[0]=2^1+1=3, F[1]=2^2+1=5, F[2]=2^4+1=17,
F[3]=2^8+1=257, F[4]=2^16+1=65537

はいずれも素数ですが、

F[5]=2^32+1=4294967297

は合成数です(4294967297=641×6700417)。実は、F[n](n≧5)の中に,素数であることが確かめられたものはまだ1つもありません。
ここでは,比較的簡単な考察によってわかるフェルマー数の性質について考えます。次の問いに答えなさい。

(1)m,nをm<nを満たす0以上の整数とします。このとき,F[n]-2はF[m]で割り切れることを示しなさい。

(2)次の命題は真ですか偽ですか。真ならばそのことを証明し,偽ならば反例を挙げなさい。
『相異なる2つのフェルマー数の最大公約数はつねに1である。』
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年12月 3日(月)23時07分41秒
返信・引用
  S ;69*x^2 + y^2 - 69*z^2=0 なる 易しい 2次曲面 S について
不定方程式(Diophantine equation) を解いて下さい;
S∩Z^3

双対曲面S^★を 求めずには イラレナイで せう;
  https://www.youtube.com/watch?v=TFa3HIpQehM
      ■ 禁欲せず 是非 モトメテ 下さい!■

            c の 双対曲線 c^★; f^★(x,y)=0
      を もう 辟易「うんざり はちべい」でせうが
      多様な発想で 必ず 求めて下さい;(と幾度もお願いした)
      (そして 各発想を此処に 投稿願います)
       (<---●世界中の 人の 関心事ですので)

  c の双対曲線 c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
      https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
         ■■■ 受講者諸氏 に 倣い  ■■■
    #MeToo(ハッシュタグ    ミートゥー)
    と   宣言し  射影化し 求めて下さい;
    <----今年の世相を反映した言葉を選ぶ「2018ユーキャン新語・流行語大賞」
    (「現代用語の基礎知識」選)が 3日、発表された。


       [其の際 アレはつかっちゃ イケマセン など口が裂けても申しません..]
       [■どんな発想も 自由です! 是非 ■多様な発想 で求めて下さい■;]

       https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
  諸氏は 卒業して 長ぁ-い年月を経てしまったので もう
       軽々 S^★を ■多様な発想で求められる筈■;
                 是非求めて下さい;

不定方程式(Diophantine equation) を解いて下さい;
S^★∩Z^3
       
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年12月 2日(日)09時29分55秒
返信・引用
  (1)        易しい 曲線 c; -x^3+10 x^2+84 x+y-840=0
上の 格子点で 横の糸 y座標が素数p (x,p)∈Z×P なる点達を求めて下さい;
                         [出典;今日チャレです]

https://www.woodpro21.com/5exterior_fence/ext_fence_4_b.html
縦の糸 x=x[k] はあなた       横の糸 y=y[j] は私
           織りなす布は いつか誰かの
            傷をかばうかもしれない
https://www.youtube.com/watch?v=SE6lKO0gCPA

  https://matome.naver.jp/odai/2139072246273564901
  http://ehon-emaki.meisei-u.ac.jp/bunshiyau/column/c6.html

(2) cの双対曲線c^★を多様な発想で求めて下さい;

    cの双曲線c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
    https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M

(3) c^★ 上の 有理点∈Q^2 を 幾つか 求めて 下さい;
(4) (3)で求めた有理点に対応する c の 接線を求めて下さい;
 
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年12月 1日(土)12時32分18秒
返信・引用
  5*Cos[x] + 12*Cos[y] + 69*Cos[z] = 19
              のとき
  5*Sin[x] + 12*Sin[y]+ 69*Sin[z] の最大値を
      多様な発想で求めて下さい;
         例えば ↓に倣い;


  常套手段の method of Lagrange multipliers の 2例 に 遭遇;
http://www.cybernet.co.jp/maple/tech/math/023_LagrangeMultipliers.html
  
 

all Japan ならぬ all Prime での入場行進

 投稿者:GAI  投稿日:2018年12月 1日(土)09時02分25秒
返信・引用
  コンピュータで並べたとはいえ、壮観

5 - (2) = 3
11 - (2×3) = 5
37 - (2×3×5) = 7
223 - (2×3×5×7) = 13
2333 - (2×3×5×7×11)= 23
30047 - (2×3×5×7×11×13) = 17
510529 - (2×3×5×7×11×13×17) = 19
9699713 - (2×3×5×7×11×13×17×19)= 23
223092907 - (2×3×5×7×11×13×17×19×23) = 37
6469693291 - (2×3×5×7×11×13×17×19×23×29) = 61
200560490197 - (2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31) = 67
7420738134871 - (Π[i=1,12]prime(i)) = 61
304250263527281 - (Π[i=1,13]prime(i)) = 71
13082761331670077 - (Π[i=1,14]prime(i)) = 47
614889782588491517 - (Π[i=1,15]prime(i)) = 107
32589158477190044789 - (Π[i=1,16]prime(i)) = 59
1922760350154212639131 - (Π[i=1,17]prime(i)) = 61
117288381359406970983379 - (Π[i=1,18]prime(i)) = 109
7858321551080267055879179 - (Π[i=1,19]prime(i)) = 89
557940830126698960967415493 - (Π[i=1,20]prime(i)) = 103
40729680599249024150621323549 - (Π[i=1,21]prime(i)) = 79
3217644767340672907899084554281 - (Π[i=1,22]prime(i)) = 151
267064515689275851355624017992987 - (Π[i=1,23]prime(i)) = 197
23768741896345550770650537601358411 - (Π[i=1,24]prime(i)) = 101
2305567963945518424753102147331756173 - (Π[i=1,25]prime(i)) = 103
232862364358497360900063316880507363303 - (Π[i=1,26]prime(i)) = 233
23984823528925228172706521638692258396433 - (Π[i=1,27]prime(i)) = 223
2566376117594999414479597815340071648394597 - (Π[i=1,28]prime(i)) = 127
279734996817854936178276161872067809674997453 - (Π[i=1,29]prime(i)) = 223
31610054640417607788145206291543662493274687181 - (Π[i=1,30]prime(i)) = 191
4014476939333036189094441199026045136645885247893 - (Π[i=1,31]prime(i)) = 163
525896479052627740771371797072411912900610967452859 - (Π[i=1,32]prime(i)) = 229
72047817630210000485677936198920432067383702541010953 - (Π[i=1,33]prime(i)) = 643
10014646650599190067509233131649940057366334653200433329 - (Π[i=1,34]prime(i)) = 239
1492182350939279320058875736615841068547583863326864530567 - (Π[i=1,35]prime(i)) = 157
225319534991831177328890236228992001350685163362356544092077 - (Π[i=1,36]prime(i)) = 167
35375166993717494840635767087951744212057570647889977422430309 - (Π[i=1,37]prime(i)) = 439
5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856069049 - (Π[i=1,38]prime(i)) = 239
962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491469 - (Π[i=1,39]prime(i)) = 199
166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989901 - (Π[i=1,40]prime(i)) = 191
29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158289 - (Π[i=1,41]prime(i)) = 199
5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614673 - (Π[i=1,42]prime(i)) = 383
1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329623 - (Π[i=1,43]prime(i)) = 233
198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910573021 - (Π[i=1,44]prime(i)) = 751
39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737503 - (Π[i=1,45]prime(i)) = 313
7799922041683461553249199106329813876687996789903550945093032474868511536164701583 - (Π[i=1,46]prime(i)) = 773
1645783550795210387735581011435590727981167322669649249414629852197255934130751871517 - (Π[i=1,47]prime(i)) = 607
367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667213243 - (Π[i=1,48]prime(i)) = 313
83311209124804345037562846379881038241134671040860314654617977748077292641632790457335493 - (Π[i=1,49]prime(i)) = 383
19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740483 - (Π[i=1,50]prime(i)) = 293
 

Re: 大小関係を不変に保つ

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年11月30日(金)20時03分18秒
返信・引用
  > No.16191[元記事へ]

OEIS A060855 にありました。

 

Re: この世のものとは思えぬ数を見つめて

 投稿者:GAI  投稿日:2018年11月29日(木)16時36分27秒
返信・引用 編集済
  > No.16196[元記事へ]

Seiichi Manyamaさんへのお返事です。

HREF="http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/02/235301">http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/02/235301
> の記事がわかりやすいのではないでしょうか?
>
> https://oeis.org/A288641

とても参考になるヒントありがとうございました。
時々Seiichiさんの仕事の部屋にお邪魔して2015年頃より開始されているRubyによるプログラム付きの
色々な数学的な仕事を拝見させて頂いております。
自分もこのソフトを使えるようにしたいと、どんなコマンドをどこでどのように使ったらいいかを具体的問題を前に見れるのでとても参考になります。
いろいろなことを読んでみて、何となくわかりかけてきたかな?
でも最初は記事を読んでも何で43番目がいきなり出て、それの数値で証明されているのを読んでも、
じゃー一体43をどうして探せるの?に釈然としない気持ちしかわかず、分かっている人が分からない人に向かって解説することってやはり難しいことなんですかね。

自分なりに納得した流れを長くなりますがアップしておきます。
私の様になかなかピントこない人がいたら、少しでも参考にして下さい。
gp > F2(p)={S2=[1,2];a=2;}for(n=1,p-2,b=lift(Mod(a*(a+n)/(n+1),p));
     S2=concat(S2,b);a=b);S2
gp > forprime(p=2,50,print(p"=>",F2(p)";",S2[p]*(S2[p]+p-1)%p))
2=>[1, 2];0
3=>[1, 2, 0];0
5=>[1, 2, 3, 0, 0];0
7=>[1, 2, 3, 5, 3, 0, 0];0
11=>[1, 2, 3, 5, 10, 6, 0, 0, 0, 0, 0];0
13=>[1, 2, 3, 5, 10, 2, 11, 10, 5, 0, 0, 0, 0];0
17=>[1, 2, 3, 5, 10, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0
19=>[1, 2, 3, 5, 10, 9, 2, 5, 17, 5, 7, 16, 17, 16, 6, 8, 2, 1, 1];0
23=>[1, 2, 3, 5, 10, 5, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

29=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 9, 11, 3, 23, 4, 13, 26, 18, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

31=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 30, 17, 20, 14, 26, 9, 15, 24, 28, 4, 28, 5, 13, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

37=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 6, 5, 26, 16, 3, 17, 15, 34, 19, 27, 20, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

41=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 31, 35, 30, 31, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

43=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 25, 37, 10, 20, 15, 38, 19, 42, 36, 34, 2, 35, 39, 31,
13, 2, 6, 26, 28, 29, 4, 14, 42, 5, 20, 17, 4, 20, 16, 29, 42, 13, 42, 20, 8, 23, 33];24

47=>[1, 2, 3, 5, 10, 28, 13, 42, 34, 2, 21, 25, 28, 3, 37, 13, 11, 23, 25, 17,
40, 27, 29, 3, 15, 14, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0


3次のゲーベル数列
gp > F3(p)={S3=[1,2];a=2;}for(n=1,p-2,b=lift(Mod(a*(a^2+n)/(n+1),p));
     S3=concat(S3,b);a=b);S3
gp > forprime(p=2,100,print(p"=>",F3(p)";",S3[p]*(S3[p]^2+p-1)%p))
2=>[1, 2];0
3=>[1, 2, 2];0
5=>[1, 2, 0, 0, 0];0
7=>[1, 2, 5, 3, 2, 6, 6];0
11=>[1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0
13=>[1, 2, 5, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0
17=>[1, 2, 5, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0
19=>[1, 2, 5, 7, 15, 3, 7, 17, 2, 9, 5, 9, 12, 11, 13, 18, 18, 18, 18];0

23=>[1, 2, 5, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22,
22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22];0

29=>[1, 2, 5, 16, 21, 13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

31=>[1, 2, 5, 14, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30,
30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30];0

37=>[1, 2, 5, 8, 23, 32, 12, 14, 13, 9, 7, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

41=>[1, 2, 5, 4, 19, 34, 19, 18, 17, 28, 31, 23, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

43=>[1, 2, 5, 2, 25, 6, 41, 34, 30, 31, 40, 30, 20, 12, 24, 41, 3, 12,
7, 36, 2, 33, 31, 5, 10, 41, 11, 36, 24, 15, 41, 20, 6, 28,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

47=>[1, 2, 5, 45, 20, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

53=>[1, 2, 5, 45, 25, 18, 33, 6, 19, 37, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

59=>[1, 2, 5, 45, 41, 11, 54, 20, 44, 5, 17, 33, 16, 53, 38, 12, 16, 20,
11, 37, 19, 16, 3, 22, 37, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58,
58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 58,
58, 58, 58, 58, 58, 58];0

61=>[1, 2, 5, 45, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

67=>[1, 2, 5, 45, 35, 27, 20, 21, 37, 33, 59, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

71=>[1, 2, 5, 45, 24, 15, 7, 55, 42, 57, 68, 40, 45, 44, 60, 43,
4, 66, 12, 50, 14, 2, 41, 26, 65, 14, 48, 40, 32, 64, 67, 33, 19,
52, 68, 45, 19, 35, 60, 48, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

73=>[1, 2, 5, 45, 39, 69, 59, 34, 70, 43, 47, 31, 29, 61,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

79=>[1, 2, 5, 45, 63, 37, 20, 54, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

83=>[1, 2, 5, 45, 73, 41, 67, 77, 30, 11, 60, 35, 36, 34, 17, 28,
8, 23, 6, 52, 58, 74, 79, 80, 79, 60, 59, 9, 11, 5, 9, 59, 22, 12,
82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82,
82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82,
82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 82];0

89=>[1, 2, 5, 45, 31, 20, 15, 50, 27, 75, 69, 7, 35, 10, 68, 75, 49,
77, 41, 36, 53, 58, 16, 27, 45, 57, 85, 63, 2, 82, 53, 65, 12, 64, 24,
75, 14, 6, 49, 11, 44, 28, 16, 55, 8, 37, 50, 12, 70, 63, 68, 2, 74,
19, 27, 30, 38, 21, 33, 11, 33, 73, 56, 54, 41, 19, 66, 84, 77, 56, 72,
77, 68, 67, 10, 41, 62, 9, 73, 36, 18, 70, 30, 74, 34, 51, 84, 55, 76];41

97=>[1, 2, 5, 45, 20, 64, 94, 49, 5, 83, 4, 80, 60, 39, 33, 21, 65, 28,
82, 43, 78, 71, 14, 61, 10, 69, 54, 64, 15, 74, 96, 96, 96, 96, 96, 96,
96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96,
96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96,
96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 96,
96, 96, 96, 96, 96, 96, 96];0


4次のゲーベル数列
gp > F4(p)={S4=[1,2];a=2;}for(n=1,p-2,b=lift(Mod(a*(a^3+n)/(n+1),p));
     S4=concat(S4,b);a=b);S4
gp > forprime(p=1,103,print(p"=>",F4(p)";",S4[p]*(S4[p]^3+p-1)%p))
2=>[1, 2];0
3=>[1, 2, 0];0
5=>[1, 2, 4, 3, 0];0
7=>[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2];0
11=>[1, 2, 9, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0
13=>[1, 2, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9];0
17=>[1, 2, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0
19=>[1, 2, 9, 8, 4, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7];0

23=>[1, 2, 9, 8, 18, 6, 14, 3, 7, 20, 10, 17, 22, 8,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

29=>[1, 2, 9, 18, 27, 19, 15, 24, 23, 13, 20, 3, 24, 10, 11, 10,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

31=>[1, 2, 9, 23, 26, 28, 11, 24, 15, 17, 16, 26,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

37=>[1, 2, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10];0

41=>[1, 2, 9, 20, 40, 24, 7, 21, 36, 24, 22, 37, 4, 36, 40,
21, 8, 29, 20, 35, 14, 25, 34, 5, 24, 15, 3, 15, 39, 17, 7, 30,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

43=>[1, 2, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

47=>[1, 2, 9, 31, 16, 7, 30, 26, 28, 29, 38, 20, 35, 33, 5,
15, 35, 39, 32, 43, 9, 39, 29, 37, 35, 2, 17, 6, 42, 7, 21,
5, 42, 44, 5, 16, 3, 14, 45, 31, 6, 26, 4, 35, 28, 0, 0];0

53=>[1, 2, 9, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

59=>[1, 2, 9, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

61=>[1, 2, 9, 58, 18, 50, 52, 32, 11, 37, 33, 54, 31, 60, 34, 12,
11, 14, 26, 42, 32, 24, 20, 19, 4, 58, 19, 26, 2, 13, 13, 13, 13,
13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13,
13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13];0

67=>[1, 2, 9, 49, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

71=>[1, 2, 9, 63, 24, 32, 11, 42, 43, 55, 64, 57, 29, 47, 33,
55, 34, 43, 49, 3, 14, 44, 10, 6, 42, 48, 20, 18, 39, 54, 27,
8, 47, 26, 30, 26, 14, 8, 67, 50, 10, 32, 29, 46,
, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

73=>[1, 2, 9, 3, 59, 7, 41, 67, 29, 24, 28, 45, 47, 15, 53, 63,
59, 48, 13, 44, 41, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

79=>[1, 2, 9, 60, 18, 43, 9, 76, 47, 34, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

83=>[1, 2, 9, 35, 64, 70, 46, 78, 53, 29, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

89=>[1, 2, 9, 57, 15, 80, 18, 60, 30, 18, 83, 80, 49, 25, 68, 23,
12, 6, 48, 32, 56, 15, 50, 39, 66, 43, 67, 78, 80, 15, 11, 81, 9,
70, 87, 57, 82, 22, 31, 2, 78, 62, 78, 11, 32, 13, 88, 71,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];0

97=>[1, 2, 9, 59, 26, 42, 89, 24, 74, 33, 49, 44, 74, 68, 67, 40,
36, 66, 83, 38, 47, 17, 12, 78, 93, 84, 19, 92, 66, 13, 14, 70, 55,
22, 87, 82, 66, 90, 87, 85, 12, 23, 57, 10, 21, 42, 65, 72, 10, 8,
82, 65, 62, 56, 38, 6, 81, 33, 9, 51, 41, 11, 78, 56, 59, 51, 86, 5,
94, 91, 32, 33, 46, 91, 85, 59, 93, 80, 84, 27, 47, 50, 34, 18, 55,
73, 94, 8, 28, 72, 26, 45, 64, 56, 89, 74, 55];75

101=>[1, 2, 9, 72, 99, 42, 16, 84, 98, 40,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];0

103=>[1, 2, 9, 30, 76, 53, 89, 17, 52, 87, 9, 99, 52, 100, 3, 70,
45, 72, 75, 36, 70, 100, 57, 61, 14, 71, 34, 18, 7, 86, 69, 34, 72,
83, 3, 17, 82, 19, 49, 74, 15, 36, 62, 26, 41, 62, 100, 47, 15, 62,
64, 70, 94, 45, 2, 6, 18, 65, 16, 100, 19, 36, 37, 18, 84, 53, 75,
87, 21, 9, 82, 10, 20, 9, 53, 60, 88, 26, 82, 89, 93, 50, 69, 46,
46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46];0



 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年11月29日(木)10時06分25秒
返信・引用 編集済
                 コンピュータが無かった時代に誕生されましたか?

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1044768990
https://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/cda59104
https://industrial.panasonic.com/jp/ss/technical/b4

http://www.pwv.co.jp/~take/TakeWiki/index.php?Arduino%E5%8B%89%E5%BC%B7%E4%BC%9A%2FJ2-%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%B0%BA%E3%81%AE%E4%BD%BF%E3%81%84%E6%96%B9

      只今  コンピュータを使わない人がゐない時代 ;

c;256433539876882510825739393 x^12+769300619630647532477218179 x^8 y^4
-1210889387796850947 x^8+769300619630647532477218179 x^4 y^8
+8476225714577956629 x^4 y^4+1905955971 x^4+256433539876882510825739393 y^12
-1210889387796850947 y^8+1905955971 y^4-1=0
   なる 12次代数曲線 の 姿を 見せて 下されば 魅せられます;
   「グラフ は 伊達に 描くものでは ない」と 誰しも云う

https://www.youtube.com/watch?v=atISBKMgzsE

 c上の有理点を 幾つか明示願います。c∩Q^2⊃{       ,      ,        }

 c∩Z^2はφですか?

 c の 双対曲線 c^★; f^★(x,y)=0
      を もう 辟易「うんざり はちべい」でせうが
       多様な発想で 必ず 求めて下さい;
      (そして 各発想を此処に 投稿願います)
       (<---●世界中の 人の 関心事ですので)

  c の双対曲線 c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
      https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
         ■■■ 受講者諸氏 に 倣い  ■■■
    #MeToo(ハッシュタグ    ミートゥー)
    と   宣言し  射影化し 求めて下さい;
        「#We Too」  運動を提唱し。

      不定方程式(Diophantine equation)を 是非解いて下さい;

c^★∩Z^2

   囲まれた部分が在れば 面積 を 求めよ! と RAQ.

                     其の模倣犯になり;

      ↑の c について 面積を求めて下さい;

      ↑の c^★ について 面積を求めて下さい;


 

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