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Re: 積分の質問

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年 7月29日(日)15時32分40秒
返信・引用 編集済
  > No.15836[元記事へ]

プルートさんへのお返事です。

> らすかるさんへのお返事です。
>
> 最後の変換が符号が逆になってしまいます...、
>
>  =∫[0~a]f(t)dt
> f(x)=f(-t)=f(t)、dx=-dtより
> =∫[0~a]f(x)dx

そこは変換ではありません。第2項と見た目を合わせるために、
単純にtをxに置き換えただけです。
もし置換積分と考えるなら、そこの置き換えはx=tです。

それに、もしx=-tと考えるとしても逆にはなりません。
t=0→x=0
t=a→x=-a
f(x)=f(-t)=f(t)
dx=-dt
なので
∫[0~a]f(t)dt
=∫[0~-a]f(x)(-dx)
=∫[-a~0]f(x)dx
となって元の式に戻るだけです。
 
 

Re: 積分に関する極限

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 7月29日(日)15時32分7秒
返信・引用
  > No.15831[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

> 各矩形の幅は1/n、高さはf(k/n)なので
> (1/n)Σ[k=1~n]f(k/n)が矩形の合計面積になる、
> という考え方なので最後の「/(1-0)」は不要です。
>
> # より一般には、
> # lim[n→∞]((b-a)/n)Σ[k=1~n]f(a+(b-a)k/n) = ∫[a~b]f(x)dx
> # です。(k=1~nはk=0~n-1でもOK)
>
> # もし「平均値」だとしたら、「区分求積」という名前は合わないですね。


===

次元解析的には
〈> 最後の「/(1-0)」は不要です〉には、私には少々不安が残ります。わざわざ1で割るような式にした理由には、応用上の観点を密かに密輸していたからでして、その点の舌足らずを大いに反省しております。どうかお許しください。


らすかるさんがより一般的な式をご提示くださいましたので、ありがたく頂戴いたしまして、私の意図するところをくどいようですが再度投稿させて頂きたく存じます。


らすかるさんにゆる式は区分求積法によるまっとうかつ正当なものでして、いささかの疑念もありません。式1とします。

lim[n→∞]((b-a)/n)Σ[k=1~n]f(a+(b-a)k/n) = ∫[a~b]f(x)dx


一方、別の見方もあるのですよ、との私なりの(私にはこちらの式が先に思い浮かぶのですが…)式変形をした上で、解釈を述べることといたします。以下のように変形いたします。式2とします。


lim[n→∞](1/n)Σ[k=1~n]f(a+(b-a)k/n) = ∫[a~b]f(x)dx/(b-a)

両辺を(b-a)で割っただけですが。

解釈のひとつの例として次のように考えてみます。

(自動車などの)物体Aの直線運動を考えます。時刻aから時刻bまでの速度を表す関数がfで与えられています。

∫[a~b]f(x)dx
は、時刻aから時刻bまでAが動いた距離を表します。

∫[a~b]f(x)dx/(b-a)

は、Aの運動の時刻aから時刻bまでの*平均速度*を表します。

すなわちこれが式2の右辺です。

一方、式2の左辺は、まずlim[n→∞]のない

(1/n)Σ[k=1~n]f(a+(b-a)k/n)

を考えます。

時刻aから時刻bまで等間隔にn個の時刻を設定し、各時刻での物体Aの速度を計測し、これらの相加平均を算出しています。むろん、これは真の〈Aの運動の時刻aから時刻bまでの*平均速度*〉ではありません。n個ではサンプルが足らないからです。
ここで lim[n→∞] の極限操作を行えば、真の平均速度が得られる(真の平均速度に収束する)、すなわち、式2の左辺は式2の右辺と一致する……という *ひとつの* 解釈を得られます。

さて、式1から式2に変形するにあたり、両辺を(b-a)で割ったわけですが、さきほどの物体Aの運動のモデルでの次元解析では、(b-a)は、時間に相当する次元を持っています。

らすかるさんによる一般化をする前の式に先日私が式変形をした際に
〈> という考え方なので最後の「/(1-0)」は不要です。
〉との瑕疵があるように見えますが、この(1-0)は一般化すれば(b-a)になるべきものでして、個人的な気持ちといたしましては、わざわざついつい書きたくなるファクターなのでした。

以上、貴重な場をお借りいたしまして長々と愚にもつかない弁解をさせて頂きました。申し訳ありませんでした。

 

Re: 積分の質問

 投稿者:プルート  投稿日:2018年 7月29日(日)14時51分58秒
返信・引用
  > No.15835[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

最後の変換が符号が逆になってしまいます...、

=∫[0~a]f(t)dt
f(x)=f(-t)=f(t)、dx=-dtより
=∫[0~a]f(x)dx


 

Re: 積分の質問

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年 7月29日(日)14時16分29秒
返信・引用
  プルートさんへのお返事です。

奇関数はf(-x)=-f(x)
偶関数はf(-x)=f(x)
です。
(1)
∫[-a~a]f(x)dx=∫[-a~0]f(x)dx+∫[0~a]f(x)dx
第1項でx=-tとするとx=-aのときt=a、x=0のときt=0、f(x)=f(-t)=-f(t)、dx=-dtなので
∫[-a~0]f(x)dx=∫[a~0]-f(t) -dt
=-∫[0~a]f(t)dt
=-∫[0~a]f(x)dx
となり、第2項を足して0になります。
(2)
∫[-a~a]f(x)dx=∫[-a~0]f(x)dx+∫[0~a]f(x)dx
第1項でx=-tとするとx=-aのときt=a、x=0のときt=0、f(x)=f(-t)=f(t)、dx=-dtなので
∫[-a~0]f(x)dx=∫[a~0]f(t) -dt
=∫[0~a]f(t)dt
=∫[0~a]f(x)dx
となり、第2項を足して2∫[0~a]f(x)dxになります。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月29日(日)13時14分12秒
返信・引用
   > y^2=xとy^2=2(x-3)で囲まれた図形の面積の求め方を教えてください。
> この形式(通常のy=...)があまり理解できていません。
   なる 「■stray sheep」に 邂逅し 首を傾けてと願うと■
    氷解(<--少しでも 清涼感を抱いてただきたく) した と。
 https://www.youtube.com/watch?v=Pig7ZQIIB2k&list=RDPig7ZQIIB2k&start_radio=1#t=59
 c1;-16 x-48 y^2+5 y^4=0,c2;x+y^2-8=0の囲む部分の面積をお願いします

 各双対曲線 c1^★ ,c2^★ を 多様な発想で求めて下さい;


  c1^★ ,c2^★の囲む部分の面積をお願いします(FAQ)

 https://ameblo.jp/yabbeyroad/entry-10985078355.html
 >曲は僕の青春時代と言えばこの人達、サザンオールスターズ。
彼らの大好きな曲ベスト3。
『夕陽に別れを告げて 』1989年
桑田さんの高校時代(鎌倉学園高校)を歌ったとされてますね。
 電報は同校のフェイスブックで紹介された。「鎌学野球部、および先生方、全校生徒の皆さん!! 決勝進出おめでとう!! さあ、勝負の時です!! 卒業生の私を含むサザンオールスターズを、どうか皆さんと一緒に甲子園球場に連れて行ってください!!」。さらにヒット曲「いとしのエリー」や「勝手にシンドバッド」の歌詞を引用しながら「笑ってもっとベイビー !! 星月夜オンマイマインド!! 勝負は時の運。出た目や結果なんて、勝手にシンドバッドでございます!!」と激励。最後は「鎌学万歳!! 熱中症対策と台風への備えも万全にお願いね!!」と締めくくった。


 https://mitchhaga.exblog.jp/23955367/
 

積分の質問

 投稿者:プルート  投稿日:2018年 7月29日(日)13時14分9秒
返信・引用
  関数f(x)は区間[-a、a]で連続とする。次の等式が成り立つことを示せ。
(1)f(x)が奇関数の時∫[-a~a]f(x)dx=o
(2)f(x)が偶関数の時∫[-a~a]f(x)dx=2∫[0~a]f(x)dx
この問題を教えてください。置換積分を使うのかなとは思いますがどのように適用すればよいのか分かりません。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月29日(日)01時50分42秒
返信・引用
  c;x^4+12 x^3 y+12 x^2 y^2+8 x^2+4 x y^3-20 x y-y^2+4=0
            の 双対曲線 c^★ は
 易しい 有理函数 f で y=f(x) と 表示叶うと 少女 A.

https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
   諸氏は 卒業して 長い年月を経たので もう
   軽く  c^★を 多様な発想で 求められる筈;

    c上の有理点をたんと求めて下さい;

   fを 求めて グラフG(f)を描いて下さい;

      x∈[0,1] とし 此の区間を n等分し
 G(f) と x 軸で 囲まれる部分の区分求積表示をして下さい;

         積分表示をシナイデ
      n->∞とした時の値を求めて下さい;

  cの特異点達(「ちょーヤバイ」点)を求め
     対応する c^★の接線を求めて下さい;



  https://www.yomiuri.co.jp/fukayomi/ichiran/20180220-OYT8T50077.html
  
 

Re: 積分に関する極限

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年 7月28日(土)23時59分26秒
返信・引用 編集済
  > No.15830[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

考え方としては「平均値」ではないと思います。
例えば↓こちらのページの図のように
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html
f(x)の[0,1]の区間をn個に区切ってn個の矩形を作ると、
各矩形の幅は1/n、高さはf(k/n)なので
(1/n)Σ[k=1~n]f(k/n)が矩形の合計面積になる、
という考え方なので最後の「/(1-0)」は不要です。

# より一般には、
# lim[n→∞]((b-a)/n)Σ[k=1~n]f(a+(b-a)k/n) = ∫[a~b]f(x)dx
# です。(k=1~nはk=0~n-1でもOK)

# もし「平均値」だとしたら、「区分求積」という名前は合わないですね。
 

Re: 積分に関する極限

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 7月28日(土)22時51分2秒
返信・引用
  > No.15828[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

> プルートさんへのお返事です。
>
> (1)に限らず、一般に
> lim[n→∞](1/n)Σ[k=1~n]f(k/n)=∫[0~1]f(x)dx
> です。
>

(1/n)Σ[k=1~n]f(k/n)≒(∫[0~1]f(x)dx)/(1-0)

左辺は離散的な平均値
右辺は連続的な平均値

lim[n→∞]
で一致する、
≒は=になる、
という式なのですよね……


lim[n→∞](1/n)Σ[k=1~n]f(k/n)=(∫[0~1]f(x)dx)/(1-0)
の形で把握することもアリではないかと個人的には思っております。

 

Re: 積分に関する極限

 投稿者:プルート  投稿日:2018年 7月28日(土)20時54分13秒
返信・引用
  > No.15828[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

そうなんですね!ありがとうございます。
 

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