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Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:GAI  投稿日:2018年10月 4日(木)07時22分45秒
返信・引用
  > No.16014[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。


横から失礼します。

> 某所で教わりまして……面白かったのでご紹介させて頂きます。
>
> 有限数列 a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7]
> およびに
> 有限数列 A[1],A[2],A[3],A[4],A[5],A[6],A[7]
> がある。
>
> 上記各項の値は、それぞれ、100 または 101 であるとする。

この条件(a[1]~A[7]の値はこの2種類しか取ってはいけない。)
は変更できないんでしょうか?

a[1]=1;A[1]=3;a[2]=4;A[2]=5;
a[3]=2;A[3]=3;a[4]=6;A[4]=7;
a[5]=8;A[5]=9;a[6]=10;A[6]=11;
a[7]=12;A[7]=13
のような値を取ることは禁止ですか?


 
 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:DD++  投稿日:2018年10月 4日(木)05時34分3秒
返信・引用
  ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

別アプローチから作ってみましたが、完成したものはらすかるさんの解と同等のものでした。

A[2]+A[3]+a[5]+a[6]+a[7] < a[2]+a[3]+A[5]+A[6]+A[7]
A[4]+A[5]+a[1]+a[2]+a[3] < a[4]+a[5]+A[1]+A[2]+A[3]
A[6]+A[7]+a[2]+a[3]+a[4] < a[6]+a[7]+A[2]+A[3]+A[4]

両辺に異なる1項を加えた場合、不等号が等号になる可能性はありますが、逆向きの不等号になることはありません。

第 1 式の左辺に A[1] を、右辺に a[1] を加えます。
第 2 式の左辺に A[3] を、右辺に a[3] を加えます。
第 3 式の左辺に A[2] を、右辺に a[2] を加えます。

A[1]+A[2]+A[3]+a[5]+a[6]+a[7] ≦ a[1]+a[2]+a[3]+A[5]+A[6]+A[7]
A[4]+A[5]+a[1]+a[2] ≦ a[4]+a[5]+A[1]+A[2]
A[6]+A[7]+a[3]+a[4] ≦ a[6]+a[7]+A[3]+A[4]

これらの不等式を全て加えたものは明らかに等号が成立するので、
もともとの不等式は全て等号が成立していたこと、
そして各不等式で左辺に加えた数は右辺に加えた数より大きかったことがわかります。

A[1]+A[2]+A[3]+a[5]+a[6]+a[7] = a[1]+a[2]+a[3]+A[5]+A[6]+A[7]
A[4]+A[5]+a[1]+a[2] = a[4]+a[5]+A[1]+A[2]
A[6]+A[7]+a[3]+a[4] = a[6]+a[7]+A[3]+A[4]
A[1] > a[1]
A[3] > a[3]
A[2] > a[2]
ここから先は容易なので省略。
 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年10月 4日(木)02時25分27秒
返信・引用
  > No.16027[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

両辺に同じ要素があってはいけないということでしたら、
一つ前に考えた解で大丈夫だと思います。

(1)A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[1]<a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[1]
(2)A[5]+A[6]+a[3]+a[4]+a[2]<a[5]+a[6]+A[3]+A[4]+A[2]
(3)A[1]+A[2]+a[3]+a[4]+a[7]<a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[7]

(1)から A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[1]+1≦a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[1]
(2)から A[5]+A[6]+a[3]+a[4]+a[2]+1≦a[5]+a[6]+A[3]+A[4]+A[2]
2式を足すと a[1]+a[2]+2≦A[1]+A[2] なので a[1]<A[1],a[2]<A[2]
すると(3)からa[3]<A[3],a[4]<A[4],a[7]<A[7]
そして(1)からa[5]<A[5],a[6]<A[6]
 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年10月 4日(木)02時01分48秒
返信・引用
  > No.16026[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。


〈5項づつ〉という制限をはずしたものの一例をお示しいたします。

まず、
(1) a[1] < A[1]
がひとつめの不等式です。

これを基礎として建物を立てます。

次に柱を立てます。

(2) a[1]+A[2]+A[3] > A[1]+a[2]+a[3]

意味としては、(1)の両辺に2項づつ加えたならば、不等号の向きが逆転するという主張です。
こんなことがおきるのは、
a[2] < A[2]
a[3] < A[3]
のときのみです。

次に家を完成させます。


(3) a[1]+a[2]+a[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] > A[1]+A[2]+A[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]

意味としては、以下のようになります。(1)(2)より、
(4) a[1]+a[2]+a[3] < A[1]+A[2]+A[3]

です。(4)の両辺に4項づつ加えたら不等号の向きが逆転しました。これが(3)です。
このような逆転がおこるのは、
a[4] < A[4]
a[5] < A[5]
a[6] < A[6]
a[7] < A[7]
のときのみです。

以上となります。
 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年10月 4日(木)01時11分4秒
返信・引用
  > No.16025[元記事へ]

らすかるさんへのお返事です。

> (3)A[5]+A[6]+a[1]+a[2]+a[6]<a[5]+a[6]+A[1]+A[2]+A[6]

あーーーー
出題をミスりました。

両辺にA[6](とa[6]と)がありますね、これを許したのは私の大失敗です。

気を取り直しまして。

+1 などを使って < を ≦ に変身させる 式の取り回しはさすがと存じます。
こうした発想は私にはありませんでしたのでとても勉強になりました。

無論、題意を満たしております。正解です。

3本を足すとか、キャンセルを系統的に発生させるとか素晴らしいと思います。

 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年10月 3日(水)23時50分43秒
返信・引用
  > No.16022[元記事へ]

ハンニバル・フォーチュンさんへのお返事です。

やっと出来ました。
# 一度別の不等式を投稿しましたが、より綺麗な式に直して再投稿しました。

(1)A[1]+A[2]+a[3]+a[4]+a[5]<a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[5]
(2)A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[7]<a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[7]
(3)A[5]+A[6]+a[1]+a[2]+a[6]<a[5]+a[6]+A[1]+A[2]+A[6]

(1)から A[1]+A[2]+a[3]+a[4]+a[5]+1≦a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[5]
(2)から A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[7]+1≦a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[7]
(3)から A[5]+A[6]+a[1]+a[2]+a[6]+1≦a[5]+a[6]+A[1]+A[2]+A[6]
全式を足して整理すると a[5]+a[6]+a[7]+3≦A[5]+A[6]+A[7] なので
a[5]<A[5],a[6]<A[6],a[7]<A[7]
これと(3)からa[1]<A[1],a[2]<A[2]
これと(1)からa[3]<A[3],a[4]<A[4]
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月 3日(水)22時34分53秒
返信・引用
  N∋n-a-> a[n]= n^5+n^4+10*n^3+23*n^2+13*n+296*13^(2*n-1)+46^(2*n-1) ∈Z
                は 或る d∈N で 割り切れることを

     発想(キ)  世界の人がやりたがる 数學的帰納法による証明で;


       発想(ゼ) ■a[n]を解に持つ 世の中でもっとも易しい
                    線型漸化式を 瞬時に 産み!■
       其れを用いて  a[n]∈dZ を 証明願います(d=___);

   イキナリ ↑ は ウブな 高校生には 困難でせう から ↓を 先ず;


           ウブな 高校生に 次を 味読いただき;
https://hitowomusubu.com/mathematics/solution-mathematical-induction-case-multiple/

        此れを x[n]=3^n を解に持つ 漸化式は 如何?;

        y[n]=(2*n + 7)を解に持つ 漸化式は 如何?;

                と 誘導尋問 し 次の発想を ;

■和 a[n]=3^n+(2*n + 7)を解に持つ 世の中でもっとも易しい
                 線型漸化式を 瞬時に 産み!■
        其れを用いて  a[n]∈4Z を 証明願います;

https://www.youtube.com/watch?v=2HN8mTJxzRE

          も 誘導尋問 し

■a[n]=5^n-3^nを解に持つ 世の中でもっとも易しい
                 線型漸化式を 瞬時に 産み!■
        其れを用いて  a[n]∈3Z を 証明願います;


こんなので 手馴し し た ならば 最上段の a[n] についての
       問題も 叶うのでは ないで しょうか?
             [試みて反応を聞かせて下さい]

 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月 3日(水)18時07分51秒
返信・引用
  N∋n-a-> a[n]= n^5+n^4+10*n^3+23*n^2+13*n+296*13^(2*n-1)+46^(2*n-1) ∈Z
                は 或る d∈N で 割り切れることを

     発想(キ)  世界の人がやりたがる 数學的帰納法による証明で;


       発想(ゼ) ■a[n]を解に持つ 世の中でもっとも易しい
                    線型漸化式を 瞬時に 産み!■
       其れを用いて  a[n]∈dZ を 証明願います(d=___);


   上の どちら(も解き 証明) を 世界に 流布させるべきと お考えでせうか?
            (理由を付し おこたえ ください!^(2018)

      かような 問題達を 沢山創出し
      入試問題用として 大學に 売り込み
     反応 と 獲た利益を お聞かせ 下さい,,,

1 イエスはこの群衆を見て、山に登られた。腰を下ろされると、弟子たちが近くに寄って来た。
2 そこで、イエスは口を開き、教えられた。
3 「心の貧しい人々は、●幸いである、/天の国はその人たちのものである。
       <----  近傍を 歩き 教会前に 。[<--- 不可解デスが]

 模倣犯本音を(心情)吐露;「数學的素養のない人は ,●辛いである」

https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20181003174218.pdf?id=ART0009159180
 

Re: 不等式の本数の節約

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年10月 3日(水)14時37分3秒
返信・引用
  > No.16019[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> 確かに、5個ずつという縛りがなければ簡単ですね。

おっしゃる通りと思います。
頭の中だけで解きえるパターンとして、1個づつ、3個づつ、7個づつ、の計3本の不等式のパターンが比較的に簡明かと存じます。



> それと同じことを5個ずつという制限の中でどう実行するかが問題、ですか……。


この解をみたときに私は度肝を抜かれました。

各々の不等式にきちんとした理由づけが込められていたものでしたので。

(計算機を回さないで見つけたようです)


 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年10月 3日(水)11時22分55秒
返信・引用
  https://kanji.jitenon.jp/kanjif/2675.html
學習院大學が n^3/6 - n^2/2 + (4*n)/3 は整数であることを証明せよ
              と 出題したそうな[噂] (n∈N)。

   問題を創作された教授が (発想ナ)  想定された 解答を
          迎合して 記述願います;

   問題を創作された教授の 想定外の 解答(発想ガ[j]) 達を 記述願います;

   https://thesaurus.weblio.jp/content/%E6%83%B3%E5%AE%9A%E5%A4%96

   (発想ナ) (発想ガ[j])  何れも正しい証明であるとき
              点数に 差を つけますか?

            また 男女差がありますか?...

            ♂ならば ___点
            ♀ならば ___点
            
 

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