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Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 4日(月)00時12分32秒
返信・引用 編集済
  DD++さんへのお返事です。

> 対角線の長さは 272、278、300、374
>
> 272^2+278^2+300^2+374^2 = (103^2+106^2+271^2)*4
>
> 272^2+278^2 = (103^2+255^2)*2
> 300^2+374^2 = (103^2+323^2)*2
>
> 272^2+300^2 = (106^2+266^2)*2
> 278^2+374^2 = (106^2+312^2)*2
>
> 272^2+374^2 = (271^2+183^2)*2
> 278^2+300^2 = (271^2+101^2)*2
>
> ってことですか?


上記から立体のイメージがとれなかったので、こちらが思っている図形を
記しておきます。

(a,b,c)=(103,106,271)の3辺の長さにしておく。
(103,106)=>(101,183) の形状を作る。
つまり2辺a,bを
(arccos((103^2+106^2-101^2)/(2*103*106))=1.00836・・・(≒57.774°)
の角度で平行四辺形を作れば2つの対角線は101,183となる。
同じく
(106,271)=>(255,323)  の形状をとる。
arccos((106^2+271^2-255^2)/(2*106*271))=1.22168・・・(≒69.997°)
の角度で平行四辺形を作れば2つの対角線は255,323となる。
また
c,aは1.33035・・・rad(≒76.223°)で266,312の対角線を持つものにしておく。
そこで3次元で
Oを始点とする3つのA,B,Cベクトルを考え
|A|=103,|B|=106,|C|=271とすれば
O(原点)
A
B
C
A+B
B+C
C+A
A+B+C
の終点はa,b,cの長さを3辺とする平行6面体の8頂点となる。
(これを順にO,A,B,C,D,E,F,Gとする。)
そこで4つのbody diagonalは
OG=|A+B+C|
CD=|A+B-C|
AE=|B+C-A|
BF=|C+A-B|
なので例えば
OG^2=(A+B+C)・(A+B+C)=|A|^2+|B|^2+|C|^2+2*((A・B)+(B・C)+(C・A))
=103^2+106^2+271^2+2*(103*106*(103^2+106^2-101^2)/(2*103*106)+106*271*(106^2+271^2-255^2)/(2*106*271)+271*103*(271^2+103^2-266^2)/(2*271*103))
=139876
よって
OG=√139876=374
他も同様に求めると
CD=272
AE=300
BF=278
とピタリと整数となる。
これで平行六面体の6つの対角線と4つの内部対角線はすべて整数が現れる。

http://

 
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 3日(日)22時43分59秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

対角線の長さは 272、278、300、374

272^2+278^2+300^2+374^2 = (103^2+106^2+271^2)*4

272^2+278^2 = (103^2+255^2)*2
300^2+374^2 = (103^2+323^2)*2

272^2+300^2 = (106^2+266^2)*2
278^2+374^2 = (106^2+312^2)*2

272^2+374^2 = (271^2+183^2)*2
278^2+300^2 = (271^2+101^2)*2

ってことですか?
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2019年 2月 3日(日)20時51分1秒
返信・引用
  隣接n項間漸化式の解き方を教えてください (n∈{2,3,4,5,6,7,8,....})
   が ◆◆◆◆今 (2018) 【boom】ブーム らしい◆◆◆◆。

              【boom】が過ぎ去る前に FAQ ;

            〇極短に短い 超易の 3 項間 で〇
           a(n+2)-138*a(n+1)+4761*a(n)=0
             a[1] = 18, a[2] = 3*4

   上の 隣接n=__項間漸化式を多様な発想で解いて下さい;
発想(イ)
発想(ロ)
発想(ハ)

 https://www.youtube.com/watch?v=uByodl0f5Ws
 >戦前の「隣組制度」は、現在の「回覧板」を回す自治会に、
 >その、なごりを残しています。
>何しろ、国が対外的な戦争をやっていた時代。

http://www.osaka-angenet.jp/sumai/advice/trouble.html#sumai1
>◆大切な隣人関係◆ をこわさないために

    向う三軒両隣 で 検索すると
  https://www.youtube.com/watch?v=uByodl0f5Ws
  >「大日本国防婦人会」のタスキ
「襷がけ」が出現 因数分解でこの用語は使いたくない!
 この時代の 供出 状況等 も 2度と あってはならぬ。
http://shochandas.xsrv.jp/equation/factorization.html
<----------- 画像が 鮮明で ない..... で;
https://www.youtube.com/watch?v=PODhmHNCFh0


https://hs-math.komaro.net/hukuzatutasukigake/

↑の 「襷掛けから逃れられない」 との 解説の最後の例について

    c;(x - 3*y - 2)*(2*x - y - 1) = 46

は 当然 双曲線で 漸近線は ;_________=0.________=0

c の双対曲線c^★ を 多様な発想で求めて下さい;

そして c^★ が 双曲線なら 漸近線を必ず求め

      c^★ と 共に グラフ化 願います;

不定方程式(Diophantine equation)を解いて下さい;
c∩Z^2

c^★∩Z^2

空ならば 其の証明をも願います;

>山口県立岩国高校の西元教善先生
>「たすき掛け」という名前の由来について紹介し,印象付けることにも努める。
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/kou/jissen/sugaku/201901/index.htmlhttps://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/kou/jissen/sugaku/201901/pdf/01.pdf

 

解答の修正

 投稿者:HP管理者  投稿日:2019年 2月 3日(日)17時35分30秒
返信・引用
  > No.16440[元記事へ]

S(H)さん、解答の誤りをご指摘いただきありがとうございます。

投稿「4項間漸化式」で、(-2)^(n - 1) + 3*(-2)^(n - 1) - 3^(n - 1)
ではなく、(-2)^(n - 1) + 3*2^(n - 1) - 3^(n - 1)でした。
(-2)^nを掛けてまとめるところで計算ミスがありました。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2019年 2月 3日(日)13時32分14秒
返信・引用
  隣接n項間漸化式の解き方を教えてください (n∈{2,3,4,5,6,7,8,....})
   が ◆◆◆◆今 (2018) 【boom】ブーム らしい◆◆◆◆。

              【boom】が過ぎ去る前に FAQ ;
a[n + 4] + 8*a[n + 3] + 24*a[n + 2] + 32*a[n + 1] + 16*a[n]=0
     a[1] = 69, a[2] = 4, a[3] = 0, a[4] = -48

   上の 隣接n=__項間漸化式を多様な発想で解いて下さい;
発想(イ)
発想(ロ)
発想(ハ)


http://www.osaka-angenet.jp/sumai/advice/trouble.html#sumai1
>◆大切な隣人関係◆ をこわさないために
http://www.pref.osaka.lg.jp/kotsukankyo/oto/seikatsu.html

https://www.ashisuto.co.jp/corporate/column/technical-column/detail/1205537_2274.html

https://gigazine.net/news/20141117-mathematician-hipster/

 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 3日(日)12時45分1秒
返信・引用 編集済
  DD++さんへのお返事です。

>
> 人力じゃ手間がかかりすぎるので実際には挑みませんが、例えば103と271(4N+3型共通素因数を持たないことが重要)なら、
> ・N=103^2+271^2 を計算し、素因数分解をし、正の奇約数の個数を求める
> ・x^2+y^2=N の整数解が正の奇約数の個数の4倍ある(ヤコビの二平方定理)ので、気合いで全て求める
> ・そのうち 0<x<103, 271<y であるものを全て選び出す
> ・x+y と -x+y が対角線の長さの組の全パターン
> です。


手作業ではたいへんですね。
結果は
P:(103,106)=>(29,207),(101,183),(123,169)で3種類
Q:(106,271)=>(255,323)で1種類
R:(271,103)=>(244,328),(266,312)で2種類
従ってこの3辺を持つ並行六面体では6タイプの各面での対角線が全て整数になる立体が考えられるが
なんとこの中の1つが4つあるbody diagonal length(立体の内部にある線)までが全て整数を取れるという。

さてその立体はP,Rにおける形状をどれにしたものか?
またこの時の4つのbody diagonalの長さは何か?


長々と質問を繰り返してきましたが、この結果が如何に奇跡に近い組合わせであるかを感じられると思い出題してきました。
例のEuler brick(オイラーの直方体)が各面の対角線が整数となる組合わせは色々と見つかってはいるが内部の対角線(1種類しかないが)まで整数とするものは各辺の長さを相当長いものまで検索されてはいるが未だに発見に至っていなく未解決の問題になっているのに対し、2009年に平行六面体の内部の対角線まで整数となるものが見つかったというのがこの結果だというのを知ったことを受け確認していたものを元に出題しておりました。
現在のコンピュータの力を利用して最後の形状を見つけてほしい。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2019年 2月 3日(日)12時40分18秒
返信・引用
  >6213  2019. 2. 3 ・・・ 投稿 「4項間漸化式」で内容補充
(-2)^(n - 1) + 3*(-2)^(n - 1) - 3^(n - 1)
(-2)^n + 3*2^n - 3^n
上は下(らすかる氏,GAI氏 そして S(H))に 等しくありません...

          再掲致します

             提起された 隣接4項間漸化式
  x[n+3]=3*x[n+2]+4*x[n+1]-12*x[n], x[0]=3,x[1]=1,x[2]=7
    を GAI 様が スペクトル分解 を 駆使し 解かれた;
   【鶏を割くに焉んぞ牛刀=スペクトル分解を用いん の 例示を されたが】
https://yoji.jitenon.jp/yojih/3686.html
http://kotowaza-allguide.com/ni/niwatoriwosakunigyuutou.html

世界の誰もが 今回提起されたような ●隣接4項間漸化式 は
  らすかる様 や GAI 様 に 倣い 必ず 解かれよう。
       発想ら。発想G と 歴史に 残る。


↓の ●隣接4+1項間漸化式 を ◆両氏 & ◆塾長様 に 倣い 必ず解いて下さい;
x[n + 4] = 218*x[n + 3] - 6595 *x[n + 2] + 63402*x[n + 1] - 188784*x[n],
         x[0] = 4, x[1] = 6, x[2] = 46, x[3] = 18}

発想ら[要した 時間をも記して下さい]

発想G [要した 時間をも記して下さい](<--『行列でできる相談所』)
             先ず A を A =

 

Re: GoGeometryの一連のProblem

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 3日(日)11時33分15秒
返信・引用
  これ1407でいう△BDFに合同な直角三角形、4つどころか6つありますね。
 

Re: GoGeometryの一連のProblem

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 3日(日)11時03分55秒
返信・引用
  moonlightさんへのお返事です。

> 例えば1407は図に描けば合同な直角三角形が4つ現れてなるへそで終わるのですが,

合同な直角三角形「3つ」じゃないかと思うんですが、4つめどこにあるんだろう……
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 3日(日)10時59分48秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

> そこで今度は3つの整数辺(a,b,c)=(103,106,271)を考える。
> この時
> (a,b)
> (b,c)
> (c,a)
> を2辺に持つそれぞれの平行四辺形が整数対角線を持ち得る形状はそれぞれ何種類ずつあるか?

人力じゃ手間がかかりすぎるので実際には挑みませんが、例えば103と271(4N+3型共通素因数を持たないことが重要)なら、
・N=103^2+271^2 を計算し、素因数分解をし、正の奇約数の個数を求める
・x^2+y^2=N の整数解が正の奇約数の個数の4倍ある(ヤコビの二平方定理)ので、気合いで全て求める
・そのうち 0<x<103, 271<y であるものを全て選び出す
・x+y と -x+y が対角線の長さの組の全パターン
です。
 

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