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Re: GoGeometryの一連のProblem

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2019年 2月 3日(日)10時14分14秒
返信・引用
  > No.16433[元記事へ]

moonlightさんへのお返事です。

1411 は open problem なのですね。
 
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 3日(日)08時02分13秒
返信・引用
  > No.16434[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> 同じ辺の長さで2種類の対角線
> (10^2+15^2)*2 = 325*2 = 650 = 11^2+23^2 = 17^2+19^2
>
> 同じ辺の長さで3種類の対角線
> (23^2+24^2)*2 = 1105*2 = 2210 = 19^2+43^2 = 23^2+41^2 = 29^2+37^2


お見事正解です。
そこで今度は3つの整数辺(a,b,c)=(103,106,271)を考える。
この時
(a,b)
(b,c)
(c,a)
を2辺に持つそれぞれの平行四辺形が整数対角線を持ち得る形状はそれぞれ何種類ずつあるか?
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 2日(土)23時34分17秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

> そこで次は同じ(a,b)の長さを有しながら、
> 2通りに対角線を整数にできる形状を有せる最小の組合わせの(a,b)は?
> また3通りでは?

同じ辺の長さで2種類の対角線
(10^2+15^2)*2 = 325*2 = 650 = 11^2+23^2 = 17^2+19^2

同じ辺の長さで3種類の対角線
(23^2+24^2)*2 = 1105*2 = 2210 = 19^2+43^2 = 23^2+41^2 = 29^2+37^2

ついでに
同じ対角線の長さで2種類の辺
(10^2+15^2)*2 = (17^2+6^2)*2 = 325*2 = 650 = 17^2+19^2

同じ対角線の長さで3種類の辺
(23^2+24^2)*2 = (31^2+12^2)*2 = (32^2+9^2)*2 = 1105*2 = 2210 = 29^2+37^2
 

GoGeometryの一連のProblem

 投稿者:moonlight  投稿日:2019年 2月 2日(土)11時24分26秒
返信・引用
  Problem 1407-1411 について。
所謂初等幾何でどのように証明したものか悩んでおります。

例えば1407は図に描けば合同な直角三角形が4つ現れてなるへそで終わるのですが,
そんなものが「証明」として認められるのかとつい思うてしまいます。
皆様なら如何に解決なさるでしょう。

URL?にGoGeometryのアドレスを貼りました。

http://gogeometry.com/problem/

 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 2日(土)11時23分23秒
返信・引用 編集済
  > No.16431[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> をカンニングしてある数とその2倍が揃っているのを探すと
> (4^2+7^2)*2 = 65*2 = 130 = 7^2+9^2
> (6^2+7^2)*2 = 85*2 = 170 = 7^2+11^2
> (7^2+9^2)*2 = 130*2 = 260 = 8^2+14^2
> (8^2+9^2)*2 = 145*2 = 290 = 11^2+13^2

こちらが準備していたのは
平行四辺形の2辺(a,b)=>できる2つの対角線(x,y)で
(4,7)=>(7,9)
(6,7)=>(7,11)
(7,9)=>(8,14)
(8,9)=>(11,13)
の4タイプでした。


> ……と思ったのですが、辺の長さが異なる条件はあっても対角線の長さが等しい条件はないので、
> ピタゴラス数を用いて長方形を作る
> (3^2+4^2)*2 = 25*2 = 50 = 5^2+5^2
> (6^2+8^2)*2 = 100*2 = 200 = 10^2+10^2
> も解ですかね?

長方形も含めると
(3,4)=>(5,5)
(6,8)=>(10,10) ((3,4)に還元できますが・・・)
もパターンですね。


そこで次は同じ(a,b)の長さを有しながら、
2通りに対角線を整数にできる形状を有せる最小の組合わせの(a,b)は?
また3通りでは?
(共に30以下の数で作れると思います。)
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:DD++  投稿日:2019年 2月 2日(土)10時21分28秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

> あと3組存在できると思います。

辺の長さの平方和とその2倍が、それぞれ別の異なる2つの0でない平方数の和にならなければ平行四辺形になりません。
面倒なので
https://oeis.org/A007692
をカンニングしてある数とその2倍が揃っているのを探すと
(4^2+7^2)*2 = 65*2 = 130 = 7^2+9^2
(6^2+7^2)*2 = 85*2 = 170 = 7^2+11^2
(7^2+9^2)*2 = 130*2 = 260 = 8^2+14^2
(8^2+9^2)*2 = 145*2 = 290 = 11^2+13^2

……と思ったのですが、辺の長さが異なる条件はあっても対角線の長さが等しい条件はないので、
ピタゴラス数を用いて長方形を作る
(3^2+4^2)*2 = 25*2 = 50 = 5^2+5^2
(6^2+8^2)*2 = 100*2 = 200 = 10^2+10^2
も解ですかね?
 

Re: 平行四辺形版ピタゴラス数

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 2日(土)08時19分47秒
返信・引用
  > No.16426[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> 対角線の長さの平方和が2辺の長さの平方和の2倍になることから探せばいいですね。
> とりあえず辺の長さが4と7で対角線の長さが7と9というのは見つけましたが、一般的に探すのはなかなかに面倒そう。


あと3組存在できると思います。
 

Re: 隣接4項間漸化式の解き方を教えてください。

 投稿者:らすかる  投稿日:2019年 2月 1日(金)09時54分13秒
返信・引用
  > No.16424[元記事へ]

Mathさんへのお返事です。

移項してx[n+2]-3x[n+1]-4x[n]+12x[n-1]=0
x^3-3x^2-4x+12=(x+2)(x-2)(x-3)から
x^3-3x^2-4x+12=0の解は-2,2,3なので、
前に解いた違う問題の結果から
x[n]=a・(-2)^n+b・2^n+c・3^nと表せることが予想できる。
x[0]=a+b+c=3
x[1]=-2a+2b+3c=1
x[2]=4a+4b+9c=7
を解くとa=1,b=3,c=-1
x[n]=(-2)^n+3・2^n-3^nとおくと
3x[n+1]+4x[n]-12x[n-1]
={3・(-2)^(n+1)+4・(-2)^n-12・(-2)^(n-1)}
 +3{3・2^(n+1)+4・2^n-12・2^(n-1)}
 -{3・3^(n+1)+4・3^n-12・3^(n-1)}
={12・(-2)^(n-1)-8・(-2)^(n-1)-12・(-2)^(n-1)}
 +3{12・2^(n-1)+8・2^(n-1)-12・2^(n-1)}
 -{27・3^(n-1)+12・3^(n-1)-12・3^(n-1)}
=-8・(-2)^(n-1)+3・8・2^(n-1)-27・3^(n-1)
=(-2)^(n+2)+3・2^(n+2)-3^(n+2)
=x[n+2]
となり漸化式も満たす。
従って一般項はx[n]=(-2)^n+3・2^n-3^nと表せる。
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2019年 2月 1日(金)08時20分40秒
返信・引用 編集済
           提起された 隣接4項間漸化式
  x[n+3]=3*x[n+2]+4*x[n+1]-12*x[n], x[0]=3,x[1]=1,x[2]=7
    を GAI 様が スペクトル分解 を 駆使し 解かれた;
       【鶏を割くに焉んぞ牛刀=スペクトル分解を用いん
                    の 例示を されたが】
https://yoji.jitenon.jp/yojih/3686.html
http://kotowaza-allguide.com/ni/niwatoriwosakunigyuutou.html

世界の誰もが 今回提起されたような ●隣接4項間漸化式 は
  らすかる様 や GAI 様 に 倣い 必ず 解かれよう。
       発想ら。発想G と 歴史に 残る。


       ↓の ●隣接4+1項間漸化式 を 両氏 に 倣い 必ず解いて下さい;
x[n + 4] = 218*x[n + 3] - 6595 *x[n + 2] + 63402*x[n + 1] - 188784*x[n],
             x[0] = 4, x[1] = 6, x[2] = 46, x[3] = 18

発想ら[要した 時間をも記して下さい]

発想G [要した 時間をも記して下さい](<--『行列でできる相談所』)
             先ず A を A =


>「人生の後悔」シニア1000人に聞いた『行列のできる法律相談所』




>数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理
>(スペクトルていり、英: spectral theorem)とは、線型作用素あるいは行列に関する
>多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が
>対角化可能(すなわち、ある基底において対角行列として表現可能)となる条件
>を与えるものである。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については
>比較的直ちに従うものであるが、無限次元空間上の作用素については
>いくつかの修正が必要となる

https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem
https://people.math.ethz.ch/~kowalski/spectral-theory.pdf


 

Re: 隣接4項間漸化式の解き方を教えてください。

 投稿者:GAI  投稿日:2019年 2月 1日(金)06時43分24秒
返信・引用 編集済
  > No.16424[元記事へ]

Mathさんへのお返事です。

> 再投稿です。URLに写真を貼りました。
>
> よろしくお願い致します。

x[n+3]=3*x[n+2]+4*x[n+1]-12*x[n]
x[0]=3,x[1]=1,x[2]=7
なら

y0[n]=x[n]
y1[n]=x[n+1]
y2[n]=x[n+2]として
Y[n]=[y0[n] y1[n] y2[n]]~ (3×1行列)
とすれば
行列A
A=[0,1,0;0,0,1;-12,4,3]
即ち
[  0 1 0]

[  0 0 1]

[-12 4 3]
に対して
Y[n+1]=A*Y[n]
Y[0]=[3 1 7]~
なる関係を持つ。

つまり
A*[x[n] x[n+1] x[n+2]]~=[x[n+1] x[n+2] x[n+3]]~
の関係にある。

そこで行列Aのn乗A^nを求めることを行う。
Aの最小多項式を求めると
minpoly(A)
%178 = x^3 - 3*x^2 - 4*x + 12
これを因数分解して
factor(%)
%179 =
[x - 3 1]

[x - 2 1]

[x + 2 1]
から固有値-2,2,3がわかり
この固有値に対するスペクトル分解を満たす関数fi(x) (i=1,2,3)
を作る。
f1(A)=f1(-2)*z11+f1(2)*z21+f1(3)*z31
f1(z)=1に対しては
I=1*z11+1*z21+1*z31 (Iは3次正方行列の単位行列)・・・・・①
f2(A)=f2(-2)*z11+f2(2)*z21+f2(3)*z31
f2(z)=zに対しては
A=-2*z11+2*z21+3*z31・・・・・②
f3(A)=f3(-2)*z11+f3(2)*z21+f3(3)*z31
f3(z)=z^2に対しては
A^2=4*z11+4*z21+9*z31・・・・・③

この3つの式から
[I A A^2]~=B*[z11 z21 z31]~
但しBは
B=[1,1,1;-2,2,3;4,4,9]
%180 =
[ 1 1 1]

[-2 2 3]

[ 4 4 9]
なる行列である。

これよりBの逆行列を利用してz11,z21,z31を解くと

B^-1
%181 =
[3/10 -1/4 1/20]

[ 3/2  1/4 -1/4]

[-4/5    0  1/5]

I= matid(3)
%182 =
[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]

z11= 3/10*matid(3)-1/4*A+1/20*A^2
%183 =
[3/10 -1/4  1/20]

[-3/5  1/2 -1/10]

[ 6/5   -1   1/5]

z21= 3/2*matid(3)+1/4*A-1/4*A^2
%184 =
[3/2 1/4 -1/4]

[  3 1/2 -1/2]

[  6   1   -1]

z31= -4/5*matid(3)+1/5*A^2
%185 =
[ -4/5 0 1/5]

[-12/5 0 3/5]

[-36/5 0 9/5]

ここで
f(z)=z^n
とすることで
f(A)=f(-2)*z11+f(2)*z21+f(3)*z31
より
A^n=(-2)^n*z11+2^n*z21+3^n*z31
が手に入る。

Y[n]=[x[n] x[n+1] x[n+2]]~=A^n*Y[0]=A^n*[3 1 7]~
であることから
A^nの第一行に着目して
20*x[n]=3*{6*(-2)^n+30*2^n-16*3^n}+1*{-5*(-2)^n+5*2^n}+7*{(-2)^n-5*2^n+4*3^n}
       =(18-5+7)*(-2)^n+(90+5-35)*2^n+(-48+28)*3^n
       =20*(-2)^n+60*2^n-20*3^n
即ち
  x[n]=(-2)^n + 3*2^n - 3^n
これを計算していくと
{x[n]};
{3,1,7,-11,-17,-179,-473,-1931,-5537,-18659,-54953,-173051,-515057,-1577939,-4717433,-14283371,
-42784577,-128878019,-386371913,-1161212891,-3482590097,-10456158899,-31364282393,-94126401611,・・・}

が現れる。

 

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