teacup. [ 掲示板 ] [ 掲示板作成 ] [ 有料掲示板 ] [ ブログ ]

 投稿者
  題名
  内容 入力補助 youtubeの<IFRAME>タグが利用可能です。(詳細)
    
 URL
[ ケータイで使う ] [ BBSティッカー ] [ 書込み通知 ] [ 検索 ]


Re: 行列関数の拡張

 投稿者:ハンニバル・フォーチュン  投稿日:2018年 7月27日(金)23時33分57秒
返信・引用
  > No.15816[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

俗っぽい説明によくある〈微分作用素の指数関数〉

半群 semi group

を思い出しました。


全然関係ないのにすみません。

 
 

Re: 行列関数の拡張

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月27日(金)15時11分36秒
返信・引用
  > No.15816[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> A=[0 1]
>   [0 0]
>
> B=[0 0]
>   [1 0]
> に対し
>
> exp(A+B)とexp(A)*exp(B)
> がそれぞれ何になるでしょう?
>
少女 a,b が @@果敢@@に挑んだが 可換   A〇B = B〇A  でないので 期待外れ..
 http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/12/19/052225


  http://d.hatena.ne.jp/Sokalian/20101120/1290273081
 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%B9%BE%E4%BD%95
 http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/senkei/senkei05-1.pdf#search=%27%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B++%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%92%E5%AD%A6%E3%81%B6%E6%84%8F%E7%BE%A9%27

 

行列関数の拡張

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月27日(金)11時29分18秒
返信・引用
  A=[0 1]
  [0 0]

B=[0 0]
  [1 0]
に対し

exp(A+B)とexp(A)*exp(B)
がそれぞれ何になるでしょう?
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 7月27日(金)02時46分59秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

あとから気がついたのですが、
固有値が1つを除いて全て重複している時点で、
以下の解法を採用するべきでした。

M-I = [[-2,-1,-1,-2],[1,0,1,0],[2,1,1,2],[1,1,0,2]]
(M-I)^2 = [[-1,-1,0,-2],[0,0,0,0],[1,1,0,2],[1,1,0,2]]
(M-I)^3 = [[-1,-1,0,-2],[0,0,0,0],[1,1,0,2],[1,1,0,2]]

よって、n≧2 のとき
M^n = ((M-I)+I)^n
= Σ[k=0..n] C(n,k)*(M-I)^k
= Σ[k=2..n] C(n,k)*(M-I)^k + n*(M-I) + I
= Σ[k=2..n] C(n,k)*(M-I)^2 + n*(M-I) + I
= Σ[k=0..n] C(n,k)*(M-I)^2 - (n+1)*(M-1)^2 + n*(M-I) + I
= 2^n*(M-I)^2 - n*((M-I)^2-(M-I)) - ((M-I)^2-I)) (この行からはn=1でも一致)
= 2^n*[[-1,-1,0,-2],[0,0,0,0],[1,1,0,2],[1,1,0,2]]
   - n*[[1,0,1,0],[-1,0,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,0,0,0]]
   - [[-2,-1,0,-2],[0,-1,0,0],[1,1,-1,2],[1,1,0,1]]
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月27日(金)00時24分15秒
返信・引用 編集済
  > No.15813[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> ここで
> C = M-2I = [[-3,-1,-1,-2],[1,-1,1,0],[2,1,0,2],[1,1,0,1]]
> B = C*(M-I) =  [[1,0,1,0],[-1,0,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,0,0,0]]
> A = B*(M-I) = 0  (←もっと早く計算しておけばよかった!)
> なので、
> M^n = 2^n* (I+B+C) - nB - (B+C)
> = 2^n*[[-1,-1,0,-2],[0,0,0,0],[1,1,0,2],[1,1,0,2]]
>    - n*[[1,0,1,0],[-1,0,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,0,0,0]]
>    - [[-2,-1,0,-2],[0,-1,0,0],[1,1,-1,2],[1,1,0,1]]


こんな解法見たことありませんでした。
DD++さんの独創性を感じます。

ここら辺りを勉強していたら次のような手法に遭遇しました。
ジョルダン標準形も使わず、基本的な代数計算を続けていくとひょっこりと結果を出してくれます。

Mの固有多項式が(x-1)^3*(x-2)
である事を前提で進みます。

Mの固有値が1(重複度が3),2(重複度が1)
の場合Mのスペクトル{1,2}上で定義される関数f(M)を
基幹行列Z11,Z12,Z13,Z21とするとき
f(M)=f(1)*Z11+f'(1)*Z12+f''(1)*Z13+f(2)*Z21
とする。
この基幹行列を決定するために
f(x)=1
の関数で上記を使うとIを4次の単位行列とすれば
I=Z11                               + Z21 ・・・・・①
f(x)=x で使って
M=Z11        + Z12                  +2*Z21・・・・・②
f(x)=x^2 で使い
M^2=Z11      +2*Z12        +2*Z13   +4*Z21・・・・・③
f(x)=x^3 で
M^3=Z11      +3*Z12        +6*Z13   +8*Z21・・・・・④
①~④を連立して解いて
Z11=2*I-3*M+3*M^2-M^3=[ 2  1 0  2]
                      [ 0  1 0  0]
                      [-1 -1 1 -2]
                      [-1 -1 0 -1]

Z12=   -2*M+3*M^2-M^3=[-1 0 -1  0]
                      [ 1 0  1  0]
                      [ 1 0  1  0]
                      [ 0 0  0  0]

Z13=I-5/2*M+2*M^2-1/2*M^3=O (零行列)

Z21=-I+3*M-3*M^2+M^3 =[-1 -1 0 -2]
                      [ 0  0 0  0]
                      [ 1  1 0  2]
                      [ 1  1 0  2]

そこでいよいよ
f(x)=x^n で使ってみると
M^n=f(M)=Z11 + n*Z12 + n*(n-1)*Z13 + 2^n*Z21

        =[2-n-2^n    1-2^n    -n   2-2^(n+1) ]
         [n          1         n          0  ]
         [-1+n+2^n   -1+2^n  1+n  -2+2^(n+1) ]
         [-1+2^n     -1+2^n    0   2^(n+1)-1 ]
勿論
f(x)=exp(x)とすれば(f'(x)=f''(x)=exp(x)より)
exp(M)=f(M)=e*Z11 + e*Z12 + e*Z13 + e^2*Z21
           =[2*e-e-e^2  e-e^2  -e  2*e-2*e^2]
            [-e-e^2     e       e          0]
            [-e+e+e^2  -e+e^2 e+e -2*e+2*e^2]
            [-e+e^2    -e+e^2   0   -e+2*e^2]

           =[e-e^2     e-e^2   -e  2*e-2*e^2]
            [-e-e^2    e        e          0]
            [e^2      -e+e^2  2*e -2*e+2*e^2]
            [-e+e^2   -e+e^2    0   -e+2*e^2]
もいける。

 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:DD++  投稿日:2018年 7月26日(木)22時46分30秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

できるだけ煩雑な文字計算を避ける方針で。

| M | = (中略) = 2
| M+I | = (中略) = 24
| M-I | = (中略) = 0
| M+2I | = (中略) = 108
| M-2I | = (中略) = 0

f(λ) = | M-λI | = a[4]*λ^4 + a[3]*λ^3 + a[2]*λ^2 + a[1]*λ + a[0] とおくと

f(0) = a[0] = 2

f(1) + f(-1) = 2a[4] + 2a[2] + 2a[0] = 24
f(2) + f(-2) = 32a[4] + 8a[2] + 2a[0] = 108
これらから a[4] = 1, a[2] = 9

f(1) - f(-1) = 2a[3] + 2a[1] = -24
f(2) - f(-2) = 16a[3] + 4a[1] = -108
これらから a[3] = -5, a[1] = -7

よって
| M-λI | = λ^4 - 5λ^3 + 9λ^2 - 7λ + 2 = (λ-2)*(λ-1)^3

ケイリーハミルトンの定理より
(M-2I)*(M-I)^3 = 0
両辺に右から M^n をかけて
(M-2I)*(M-I)^3*M^n = 0

これを変形して
(M-2I)*(M-I)^2*M^(n+1) = (M-2I)*(M-I)^2*M^n
n = 0,1,2,3,…… で考えると
(M-2I)*(M-I)^2*M^n = (M-2I)*(M-I)^2
この右辺を A とおきます。

これを変形して
(M-2I)*(M-I)*M^(n+1) - (n+1)A = (M-2I)*(M-I)*M^n - nA
n = 0,1,2,3,…… で考えると
(M-2I)*(M-I)*M^n - nA = (M-2I)*(M-I)
この右辺を B とおきます。

これを変形して
(M-2I)*M^(n+1) - (1/2)(n+1)nA - (n+1)B = (M-2I)*M^n - (1/2)n(n-1)A - nB
n = 0,1,2,3,…… で考えると
(M-2I)*M^n - (1/2)n(n-1)A - nB = M-2I
この右辺を C とおきます。

これを変形すると (←ここだけどうしても煩雑な文字計算を避けられず……)
M^(n+1) + ((1/2)(n+1)^2+(1/2)(n+1)+1)A + (n+2)B + C = 2*{ M^n + ((1/2)n^2+(1/2)n+1)A + (n+1)B + C }
n = 0,1,2,3,…… で考えると
M^n + ((1/2)n^2+(1/2)n+1)A + (n+1)B + C = 2^n* (I+A+B+C)

ここで
C = M-2I = [[-3,-1,-1,-2],[1,-1,1,0],[2,1,0,2],[1,1,0,1]]
B = C*(M-I) =  [[1,0,1,0],[-1,0,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,0,0,0]]
A = B*(M-I) = 0  (←もっと早く計算しておけばよかった!)
なので、
M^n = 2^n* (I+B+C) - nB - (B+C)
= 2^n*[[-1,-1,0,-2],[0,0,0,0],[1,1,0,2],[1,1,0,2]]
   - n*[[1,0,1,0],[-1,0,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,0,0,0]]
   - [[-2,-1,0,-2],[0,-1,0,0],[1,1,-1,2],[1,1,0,1]]
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月26日(木)20時34分41秒
返信・引用
   M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
    [                    ]
    [  1    1    1    0  ]
    [                    ]
    [  2    1    2    2  ]
    [                    ]
    [  1    1    0    3  ]

   A∈Hom[C^5,C^5]            の冪 M^n は 済んだ。
   『挑戦者 GAI 氏&りらひいさん」

   A={{1, -1}, {1, 3}}∈Hom[C^2,C^2]の冪 A^n も 済んだ!。

   『挑戦者 ■行列を文部省が許可(認可)した時代■ の高校生諸氏」

>   私立大の支援事業をめぐる汚職事件で、文部科学省の前局長が
      受託収賄罪で起訴された。

> 賄賂は前局長の息子の不正入学とされ、贈賄罪で東京医科大の前理事長
     と前学長が在宅のまま起訴された。

─26日   10時26分─

?文科省国際統括官を 新たに逮捕、文科省汚職事件で

 >文部科学省・前局長が受託収賄の罪で起訴された事件で、東京地検特捜部は、
 >文部科学省のキャリアで国際統括官の川端和明容疑者(57)
 >を新たに逮捕しました。


   狭間の ↓の 冪について 少年 B が ■汗をかいた■;
   が 他の発想で もう 瞬時に 済まされた ことでありませう!^(2018)
   A= {{1, 1, 1}, {3, 0, -3}, {-4, 3, 6}}∈Hom[C^3,C^3]

   次に 挑み 成功したら 世界初 と 勝手に 思い込み

 A={{1232459/91411, -(374600/91411), 5822000/
  91411, -(50200/91411), -(1391700/91411)}, {-(408150/91411), 1135059/
  91411, 2919900/91411, -(502800/91411), 3814950/
  91411}, {-(524600/91411), -(500200/91411), 7129209/
  91411, -(49950/91411), 208550/
  91411}, {-(237050/91411), -(544900/91411), 523400/91411, 6253859/
  91411, 337750/91411}, {-(237050/91411), -(544900/91411), 523400/
  91411, -(53500/91411), 6645109/91411}}∈Hom[C^5,C^5]

        A^n なる 冪に 挑む べき と 考え
  「云うだけ 番長に おわらず 具現過程を全て洩らし 此処に提示下さい!」

           行列の指数関数 Exp(A) をも 求めて下さい!

           以上の具現後 「行列(<---K上の線型空間の作用準同型写像)
      を 高等學校の 教育内容と せよ! 」と 文部省に直訴してください!

https://kotobank.jp/word/%E7%9B%B4%E8%A8%B4-72630

 
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月26日(木)13時04分11秒
返信・引用 編集済
  >「努力は報われる」という言葉はモチベーションにつながりますが、
> 本当に大切なのはひたすら前に向かって歩みを止めないこと。
>>     及ばぬことと 諦めましたぁ......
> 現実では、努力が報われない状況は数多くあります。

  >   いろいろな資料の整理などで行列の考え方は有用なのに
      (<---此れが【線型代数》が在る理由でせう?)
  >なぜ高校の数学から
 >消えたのか不思議です。
  --------- 以上 他所から 剽窃 ----------

   ・行列の冪乗計算          GAI 氏
       りらひいさん「ぐは。四時間かかった…。」と 吐露.
       りらひいさん(<---- 物理系の人間)

M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
    [                    ]
    [  1    1    1    0  ]
    [                    ]
    [  2    1    2    2  ]
    [                    ]
    [  1    1    0    3  ]

                 の冪 M^n は 済んだ。

   A={{1, -1}, {1, 3}}の冪 A^n も 済んだ。

   狭間の ↓の 冪について 少年 B が ■汗をかいた■;
   A= {{1, 1, 1}, {3, 0, -3}, {-4, 3, 6}∈Hom(C^(4-1),C^(4-1))

   {{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}},
    {{1, 1, 1}, {3, 0, -3}, {-4, 3, 6}},
    {{0, 4, 4}, {15, -6, -15}, {-19, 14, 23}},
    {{-4, 12,12}, {57, -30, -57}, {-69, 50, 77}},
    {{-16, 32, 32}, {195, -114, -195}, {-227, 162, 243}},
     {{-48, 80, 80}, {633, -390, -633}, {-713, 502, 745}}, {{-128, 192,
   192}, {1995, -1266, -1995}, {-2187, 1522, 2251}}, {{-320, 448,
   448}, {6177, -3990, -6177}, {-6625, 4566, 6753}}, {{-768, 1024,
   1024}, {18915, -12354, -18915}, {-19939, 13634, 20195}}, {{-1792,
   2304, 2304}, {57513, -37830, -57513}, {-59817, 40646,
   60329}}, {{-4096, 5120,
   5120}, {174075, -115026, -174075}, {-179195, 121170,
   180219}}, {{-9216, 11264,
   11264}, {525297, -348150, -525297}, {-536561, 361462,
   538609}}, {{-20480, 24576,
   24576},
   {1582035, -1050594, -1582035},{-1606611, 1079266,  1610707}}}

        「努力は報われる」か じーと 目を移し乍

   A^n の「各成分を nの函数として 表現」の努力をなさって下さい...

        「努力は報われ」そう ですか?

     https://www.youtube.com/watch?v=4PAw1_M04hU
  (<----広中平祐先生が 壇上で 研究回顧し 歌われた 及ばぬことと...)

     ↑の  M∈Hom(C^4,C^4)  で為したように
> > 特性多項式 f (x) を求め(-----> __________________)

  > > x^nを f (x) で割り 余りをもとめ (<---小中高生為す)
                   ●恒等式を 創作し●
   ◇瞬時に◇ A^n の「各成分を nの函数として 表現」して下さい;

   行列の指数関数 Exp(A) を求めて下さい!

 次は A∈Hom[C^5,C^5] の 具体例で挑むべき だと 冪;
                          A^nを どうぞ!

    次は A∈Hom[C^m,C^m] (m∈5,6,7,8,.....2018,...)
           の 具体例で挑むべき だ
 https://www.youtube.com/watch?v=mzHqDtcPBvw&start_radio=1&list=RDmzHqDtcPBvw#t=0

 
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月26日(木)08時00分37秒
返信・引用 編集済
  > No.15808[元記事へ]

りらひいさんへのお返事です。

> この問題に関しては手計算でいけるんじゃないかなーと思って
> とりあえずジョルダン標準形でやってみた。
>
> [固有多項式]
> =(x-1)^3(x-2)


4時間もの格闘ありがとうございます。
この固有多項式に対して最小多項式が
(x-1)^2(x-2)になるパターンでの問題設定になっていました。
即ち
当然行列Mの対し
(M-I)^3*(M-2I)=O (零行列)であるが、それ以前に
(M-I)^2*(M-2*I)=O でもあることから固有値1に対する
固有ベクトルを探す場合下記の作業が必要となり

<固有多項式>
> (M-I)[a,b,c,d]^T = p*[1,1,-1,-1]^T + q*[0,2,0,-1]^T
> とおくと、
> -2a-b-c-2d=p
> a+c=p+2q
> 2a+b+c+2d=-p
> a+b+2d=-p-q
> より、p+q=0なので、
> (M-I)[-1,-1,0,1]^T = [1,-1,-1,0]^T

この部分の作業が出るところが面倒で落とし穴になりますね。


>
> 固有値2に対して、
> M-2I=[
> [-3, -1, -1, -2],
> [ 1, -1,  1,  0],
> [ 2,  1,  0,  2],
> [ 1,  1,  0,  1]
> ]
> より、固有ベクトルは、
> [1,0,-1,-1]^T

> これより、
> J=[
> [1, 1, 0, 0],
> [0, 1, 0, 0],
> [0, 0, 1, 0],
> [0, 0, 0, 2]
> ]
> および
> S=[
> [ 1, -1,  0,  1],
> [-1, -1,  2,  0],
> [-1,  0,  0, -1],
> [ 0,  1, -1, -1]
> ]
> とおくと、SJ=MS が成り立ち、
> J^n=[
> [1, n, 0,   0],
> [0, 1, 0,   0],
> [0, 0, 1,   0],
> [0, 0, 0, 2^n]
> ]

このJ^nのスッキリ感が鍵ですね。

後は
S*J^n*S^(-1)
からM^nの行列を作り出す手法をよくも探し出したものだと感心したものでした。
ですから4次くらいの正方行列にもなると固有多項式と最小多項式にずれが生じるパターン
がいろいろ発生し、ジョルダン標準形のあり様がそれに伴い変化する点が面食らうことになる。
でも演繹的な構成の見事な出来栄えに感動しました。




 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:りらひい  投稿日:2018年 7月26日(木)04時59分25秒
返信・引用
  > No.15808[元記事へ]

りらひいさんへのお返事です。

あ、間違いがありました。

> M^n = S J^n S^(-1) = [
> [ 1,  n-1,  0,  2^n],
> [-1, -n-1,  2,    0],
> [-1,   -n,  0, -2^n],
> [ 0,    1, -1, -2^n]
> ] S = [
> [-n+2-2^n,  1-2^n,  -n,  2-2*2^n],
> [       n,      1,   n,        0],
> [ n-1+2^n, -1+2^n, n+1, -2+2*2^n],
> [  -1+2^n, -1+2^n,   0, -1+2*2^n]
> ]

ここの真ん中あたり

誤:
] S = [

正:
] S^(-1) = [
 

レンタル掲示板
/1286