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Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:りらひい  投稿日:2018年 7月26日(木)04時26分49秒
返信・引用
  > No.15796[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 正方行列のn乗を求めよという問題が2,3次での正方行列では入試等でも見かけることがある。
> ところがそれ以上の正方行列になると途端に面倒なことになるような雰囲気。
> 使われる手としてジョルダン標準形があるも、パターンが様々で面食らう。
> なるだけ計算機に頼らず、次の4次の正方行列 M のn乗形を求めてほしい。
>
> また何か有効な方法があったら教えてほしい。
>
> M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
>    [                    ]
>    [  1    1    1    0  ]
>    [                    ]
>    [  2    1    2    2  ]
>    [                    ]
>    [  1    1    0    3  ]


わたしにはとにかくがんばることくらいしか思い浮かびません。
でたらめな4次正方行列ならわたしの手におえないけど、
GAIさんが出題したという時点で答えがある程度簡単になることが予想されるなら、
この問題に関しては手計算でいけるんじゃないかなーと思って
とりあえずジョルダン標準形でやってみた。

[固有多項式]
=(-1-x)(1-x)(2-x)(3-x)
-(-1-x)(1-x)(0)
-(-1-x)(2-x)(0)
-(-1-x)(3-x)(1)
-(1-x)(2-x)(-2)
-(1-x)(3-x)(-2)
-(2-x)(3-x)(-1)
+(-1-x)(2+0)
+(1-x)(-2+0)
+(2-x)(-2+0)
+(3-x)(-2-1)
+(0+0-2)
-(-2+0+0-2-4+0)
=x^4-5x^3+5x^2+5x-6
-x^2+2x+3
+2x^2-6x+4
+2x^2-4x+6
+x^2-5x+6
-2x-2
+2x-2
+2x-4
+3x-9
+6
=x^4-5x^3+9x^2-7x+2
=(x-1)^3(x-2)


固有値1に対して、
M-I=[
[-2, -1, -1, -2],
[ 1,  0,  1,  0],
[ 2,  1,  1,  2],
[ 1,  1,  0,  2]
]
より、固有ベクトルは、
[1,1,-1,-1]^T および [0,2,0,-1]^T

(M-I)[a,b,c,d]^T = p*[1,1,-1,-1]^T + q*[0,2,0,-1]^T
とおくと、
-2a-b-c-2d=p
a+c=p+2q
2a+b+c+2d=-p
a+b+2d=-p-q
より、p+q=0なので、
(M-I)[-1,-1,0,1]^T = [1,-1,-1,0]^T


固有値2に対して、
M-2I=[
[-3, -1, -1, -2],
[ 1, -1,  1,  0],
[ 2,  1,  0,  2],
[ 1,  1,  0,  1]
]
より、固有ベクトルは、
[1,0,-1,-1]^T


これより、
J=[
[1, 1, 0, 0],
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 2]
]
および
S=[
[ 1, -1,  0,  1],
[-1, -1,  2,  0],
[-1,  0,  0, -1],
[ 0,  1, -1, -1]
]
とおくと、SJ=MS が成り立ち、
J^n=[
[1, n, 0,   0],
[0, 1, 0,   0],
[0, 0, 1,   0],
[0, 0, 0, 2^n]
]
および(掃き出し法により)
S^(-1)=[
[ 1,  1, -1,  2],
[-1,  0, -1,  0],
[ 0,  1, -1,  1],
[-1, -1,  0, -2]
]
から
M^n = S J^n S^(-1) = [
[ 1,  n-1,  0,  2^n],
[-1, -n-1,  2,    0],
[-1,   -n,  0, -2^n],
[ 0,    1, -1, -2^n]
] S = [
[-n+2-2^n,  1-2^n,  -n,  2-2*2^n],
[       n,      1,   n,        0],
[ n-1+2^n, -1+2^n, n+1, -2+2*2^n],
[  -1+2^n, -1+2^n,   0, -1+2*2^n]
]
が求まる。


ぐは。四時間かかった…。
 
 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月25日(水)22時39分33秒
返信・引用
  以下は努力家の少年 B が A={{1, -1}, {1, 3}}の冪 A^n を
          知りたくてたまんない
  と シコシコ 合成写像∈Hom(C^2,C^2) を 求めた 顛末である;

{{1, 0}, {0, 1}}, {{1, -1}, {1, 3}},
{{0, -4}, {4, 8}}, {{-4, -12}, {12, 20}},
{{-16, -32}, {32,48}}, {{-48, -80}, {80, 112}},
{{-128, -192}, {192, 256}}, {{-320, -448}, {448, 576}},
{{-768, -1024}, {1024, 1280}}, {{-1792, -2304}, {2304, 2816}},
{{-4096, -5120}, {5120, 6144}}, {{-9216, -11264}, {11264,13312}},
{{-20480, -24576}, {24576,28672}}, {{-45056, -53248}, {53248,61440}},
{{-98304, -114688}, {114688,131072}},{{-212992, -245760},{245760,278528}},
{{-458752, -524288}},{524288,589824}},{{-983040,-1114112},{1114112,1245184}}, {{-2097152, -2359296}, {2359296,2621440}},
{{-4456448, -4980736}, {4980736, 5505024}}}

(1) から A^n を 推測し,数學的帰納法で 推測が正しいことを証明願います;

(2) 人生は有限なので この調子で 例えば
> M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
>    [                    ]
>    [  1    1    1    0  ]
>    [                    ]
>    [  2    1    2    2  ]
>    [                    ]
>    [  1    1    0    3  ]

    について M^n を n=0,1,2,3,,,,18,19...69.....と 求めて
  推測しようと 粘っても 及ばぬことと 放棄したくなる でせう...

  https://www.youtube.com/watch?v=4PAw1_M04hU
  (<----広中平祐先生が 壇上で 研究回顧し 歌われた 及ばぬことと...)

https://www.youtube.com/watch?v=fz9XHjdjzTE&start_radio=1&list=RDfz9XHjdjzTE#t=69

  A∈Hom[C^2,C^2] について A^n を
  他の発想で導出過程を明記し速やかに求めて下さい;

  M∈Hom[C^4,C^4] について M^n を
  他の発想で導出過程を明記し速やかに求めて下さい;

  http://ogyahogya.hatenablog.com/entry/2017/02/06/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%AF%BE%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0

  行列の指数関数 Exp(A) を求めて下さい!

  行列の指数関数 Exp(M) を求めて下さい!





      
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月25日(水)20時35分30秒
返信・引用
  > No.15804[元記事へ]

S(H)さんへのお返事です。

> >
> M^n= {{2 - 2^n - n, 1 - 2^n, -n, -2 (-1 + 2^n)},
>   {n, 1, n, 0},
>   {-1 + 2^n + n, -1 + 2^n, 1 + n, 2 (-1 + 2^n)},
>   {-1 + 2^n, -1 + 2^n, 0, -1 + 2^(1 + n)}}
> -----------------------------------------------
>   此れを 数学的帰納法 で 証明して! と 少女 A.

確かにこれですべてのM^nを作れます。
ところでこの式を手に入れるためには大きく分けて2つのアプローチがあり
帰納法的と演繹法的
S(H)さんのコメントを見る限り帰納法的処理の接近だと思われます。
つまりM^2,M^3,M^4,・・・と計算していき結果に現れる規則を予想し
これを数学的帰納法で確定させている。

一方途中の計算は一切使わず、行列の持つ性質や特徴だけを組み合わせM^nという
行列が持つ形を直接出現させていく演繹的手法もあり得て、この接近でジョルダンの
標準形と呼ばれている手法を使い同じ結論を出す経験をしたのですが、これってなかなか
落とし穴があり、色々と経験を積まないと使いこなせない印象を持ちました。
そこでいろいろな人にどんな方法でやられるかを尋ねたかったので出題していました。
もし演繹的方法で有効な手段をお持ちな方は教えて下さい。

 

Re: ファウルハーバーの定理について

 投稿者:aki  投稿日:2018年 7月25日(水)20時30分40秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。


> このサイトで
> 私の備忘録
> での代数学分野の「数列の和」での話題について読んでみて下さい。
> S(k):kが奇数の時 S(1)だけで表された式
> S(k):kが偶数の時 S(1),S(2)だけで表されている式(S(2)で割り切れることも一目で納得)
> などのものの式も出ています。


「数列の和」を拝見しました。
上記の性質について書かれていたのは見たのですが、なぜそうなるのかという証明が省略されていました。証明方法を具体的に教えて頂けると幸いです。
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月25日(水)19時15分6秒
返信・引用 編集済
  > No.15803[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> S(H)さんへのお返事です。
>
> > >
> > 発想 (イ)
> > 特性多項式 f (x) を求め(-----> x^4-5 x^3+9 x^2-7 x+2です)
> > x^nを f (x) で割り 余りをもとめ(n=69 ---->590295810358705649296 x^3-1770887431076116945542 x^2+1770887431076116943265 x-590295810358705647018)
>
> この式はn=69の場合の式でしょう。
> 言いたいのはどんなnに対してもの式なのです。
> 逆に言えばこの方法ではそれは式を作ることが出来ないと思えるのです。
> よってそれを可能する他の攻め方が知りたいのです。
>
>
M^n= {{2 - 2^n - n, 1 - 2^n, -n, -2 (-1 + 2^n)},
  {n, 1, n, 0},
  {-1 + 2^n + n, -1 + 2^n, 1 + n, 2 (-1 + 2^n)},
  {-1 + 2^n, -1 + 2^n, 0, -1 + 2^(1 + n)}}
-----------------------------------------------
n=2*69なら
{{-348449143727040986586495598010130648531080, \
-348449143727040986586495598010130648530943, -138, \
-696898287454081973172991196020261297061886}, {138, 1, 138,
  0}, {348449143727040986586495598010130648531081,
  348449143727040986586495598010130648530943, 139,
  696898287454081973172991196020261297061886}, \
{348449143727040986586495598010130648530943,
  348449143727040986586495598010130648530943, 0,
  696898287454081973172991196020261297061887}}
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
        だと 世界の人々。

  此れを 数学的帰納法 で 証明して! と 少女 A.
  (攻め方 導出法は ほゞ 以前に 激白致しました!)


      
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月25日(水)13時32分28秒
返信・引用
  S(H)さんへのお返事です。

> >
> 発想 (イ)
> 特性多項式 f (x) を求め(-----> x^4-5 x^3+9 x^2-7 x+2です)
> x^nを f (x) で割り 余りをもとめ(n=69 ---->590295810358705649296 x^3-1770887431076116945542 x^2+1770887431076116943265 x-590295810358705647018)

この式はn=69の場合の式でしょう。
言いたいのはどんなnに対してもの式なのです。
逆に言えばこの方法ではそれは式を作ることが出来ないと思えるのです。
よってそれを可能する他の攻め方が知りたいのです。

 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月25日(水)12時14分48秒
返信・引用 編集済
  > No.15801[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> S(H)さんへのお返事です。
>
> >
> >  {{-590295810358705651779, -590295810358705651711, -69, \
> > -1180591620717411303422}, {69, 1, 69, 0}, {590295810358705651780,
> >   590295810358705651711, 70,
> >   1180591620717411303422}, {590295810358705651711,
> >   590295810358705651711, 0, 1180591620717411303423}}
> >
>
> 値は計算機にかければ出ます。
> その式が欲しいんです。
>
>
発想 (イ)
特性多項式 f (x) を求め(-----> x^4-5 x^3+9 x^2-7 x+2です)
x^nを f (x) で割り 余りをもとめ(n=69 ---->590295810358705649296 x^3-1770887431076116945542 x^2+1770887431076116943265 x-590295810358705647018)
余りの定数項*{{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}
とし x = m とすべき と 冪。一例 m^69 は\[DownArrow]

[[[[[[[[[[[[
https://matrix.reshish.com/power.php
確認用。
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月25日(水)11時43分47秒
返信・引用
  > No.15799[元記事へ]

S(H)さんへのお返事です。

>
>  {{-590295810358705651779, -590295810358705651711, -69, \
> -1180591620717411303422}, {69, 1, 69, 0}, {590295810358705651780,
>   590295810358705651711, 70,
>   1180591620717411303422}, {590295810358705651711,
>   590295810358705651711, 0, 1180591620717411303423}}
>

値は計算機にかければ出ます。
その式が欲しいんです。

 

Re: ファウルハーバーの定理について

 投稿者:GAI  投稿日:2018年 7月25日(水)11時38分45秒
返信・引用
  > No.15798[元記事へ]

akiさんへのお返事です。

> S(k)=1^k+2^k+・・・+n^k とする
> このとき
> k:奇数の場合 → S(k)は、S(1)の多項式で表される。
> k:偶数の場合 → S(k)は、S(2)で割れ、その商は、また、S(1)の多項式で表される。
> という性質があり、この証明は以下のサイトでそこまで難しくないと書かれていたのですが、自分は全く分かりませんでした。
> 誰か教えてください。



このサイトで
私の備忘録
での代数学分野の「数列の和」での話題について読んでみて下さい。
S(k):kが奇数の時 S(1)だけで表された式
S(k):kが偶数の時 S(1),S(2)だけで表されている式(S(2)で割り切れることも一目で納得)
などのものの式も出ています。
 

Re: 行列の冪乗計算

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年 7月25日(水)11時00分31秒
返信・引用
  > No.15796[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 正方行列のn乗を求めよという問題が2,3次での正方行列では入試等でも見かけることがある。
> ところがそれ以上の正方行列になると途端に面倒なことになるような雰囲気。
> 使われる手としてジョルダン標準形があるも、パターンが様々で面食らう。
> なるだけ計算機に頼らず、次の4次の正方行列 M のn乗形を求めてほしい。
>
> また何か有効な方法があったら教えてほしい。
>
> M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
>    [                    ]
>    [  1    1    1    0  ]
>    [                    ]
>    [  2    1    2    2  ]
>    [                    ]
>    [  1    1    0    3  ]

発想(イ)
 特性多項式 f(x) を求め
 x^nを f(x)で割り 余りをもとめ
 余りの定数項*{{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}
 とし x=m とすべき と 冪。

 一例 m^69 は ↓

 {{-590295810358705651779, -590295810358705651711, -69, \
-1180591620717411303422}, {69, 1, 69, 0}, {590295810358705651780,
  590295810358705651711, 70,
  1180591620717411303422}, {590295810358705651711,
  590295810358705651711, 0, 1180591620717411303423}}

     不安解消策 の 一例 m^69 の 特性多項式は
    (x-590295810358705651712) (x-1)^3 で 其の零点 は 1,2^69
        で ●間違いない●

    https://www.youtube.com/watch?v=3JlJapp7TuA
    https://www.youtube.com/watch?v=cfOwNQ1yIUs

    https://www.youtube.com/playlist?list=PLbZRoMglpnO6QyxFNSPqiKeGIJZu3xZw-
     行列好きな日本人<----其の真偽如何?

     今回の m^(2018)を瞬時に獲る日本人か....
     其の高い冪を具現して 云うベキ

    発想(ロ)

      https://www.youtube.com/watch?v=F2JaJF02o0M
      
 

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