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> No.17098[元記事へ]
GAIさんへのお返事です。
管理人さんが書かれているラウスの定理による式
(xyz-1)^2/{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}=1/2
をxについて整理すると
(y^2z^2-y^2z-yz^2-2yz-y)x^2
-(y^2z^2+2y^2z+2yz^2+z^2+8yz+2y+2z+1)x
-(y^2z+2yz+y+z-1)=0
となり、このxに関する二次方程式の判別式は
D=(yz+8y+z+1)(yz+z+1)^3
となりますので、yz+z+1とyz+8y+z+1がともに
有理数の平方であればよい（十分条件）ことがわかります。
yz+z+1=a^2, yz+8y+z+1=b^2 とおくと（ただしa,bは有理数でb＞a＞1）
y=(b^2-a^2)/8, z=8(a^2-1)/(b^2-a^2+8)
そしてこれをxの方程式に代入して解くと
x=
{(a^2-4-ab)(b^2-a^2+8)}/{(b-a)(3a^3-4a^2b+ab^2+4a+4b)},
{(4-a^2-ab)(b^2-a^2+8)}/{(b+a)(3a^3+4a^2b+ab^2+4a-4b)}
となりますので、この式から適解になるようなa,bの範囲を考えることで
1＜a＜√2 かつ a＜b＜(4-a^2)/a として
x=(4-a^2-ab)(b^2-a^2+8)/{(b+a)(3a^3+4a^2b+ab^2+4a-4b)}
y=(b^2-a^2)/8, z=8(a^2-1)/(b^2-a^2+8)
とすれば、元の式を満たします。
例えば(a,b)=(5/4,7/4)とすると(x,y,z)=(19/447,3/16,9/19)なので
AP：PB=447：19, BQ：QC=16：3, CR：RA=19：9
で面積が半分という条件を満たすことになります。
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