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Re: 本日の更新履歴

 投稿者:GAI  投稿日:2018年11月 8日(木)07時34分18秒
返信・引用 編集済
  > No.16143[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> ∠A=n∠Bのとき、辺の長さCA(=b)はn乗数なのかな?
> ※nは正の整数


∠A=4∠Bでの三角形ABCでの辺(a,b,c)が
(a,b,c)=
(105,81,31)
(476,256,305)
(1395,625,1111)
(3234,1296,2869)
(3864,2401,1969)
・・・・・・・・・・・・・・・・・
の時そのような関係を持つので多分間違いないでしょうね。

角度では倍数なのに辺では塁乗になるなんて面白いですね。
何か対数計算を見ている思いになる。


 
 

Re: 本日の更新履歴

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年11月 8日(木)06時43分10秒
返信・引用
  > No.16143[元記事へ]

よおすけさんへのお返事です。

> ∠A=n∠Bのとき、辺の長さCA(=b)はn乗数なのかな?

そうなりそうです。
一般のnに対してa,b,cの間に成り立つ式をf[n](a,b,c)=0として
n=6まで求めてみると
f[1](a,b,c)=a-b
f[2](a,b,c)=a^2-b^2-bc
f[3](a,b,c)=a^3-a^2b-ab^2+b^3-bc^2
f[4](a,b,c)=a^4-2a^2b^2+b^4-a^2bc+b^3c-b^2c^2-bc^3
f[5](a,b,c)=a^5-a^4b-2a^3b^2+2a^2b^3+ab^4-b^5
 -a^2bc^2-ab^2c^2+2b^3c^2-bc^4
f[6](a,b,c)=a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6-a^4bc+2a^2b^3c
 -2a^2b^2c^2-a^2bc^3-b^5c+2b^4c^2+2b^3c^3-b^2c^4-bc^5
のようになりますが、この式を見ると少なくとも1<n≦6では
bがn乗数になっていなければいけないことがわかります。
(簡単に証明できます。)
また、これらの式をじっくり眺めると
f[0](a,b,c)=1, f[1](a,b,c)=a-b,
f[n](a,b,c)=(a+b(-1)^n+c)f[n-1](a,b,c)-(ac)f[n-2](a,b,c)
という三項間漸化式が(n≦6の範囲では)成り立つことがわかります。
もしこの漸化式がn>6でも成り立てば、
bがn乗数であることは間違いないことになりますが、
今のところその証明はできていません。
 

Re: 本日の更新履歴

 投稿者:よおすけ  投稿日:2018年11月 7日(水)23時09分11秒
返信・引用
  > No.16141[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 面白い三角形での
> ∠A=2∠B
> の関係を生み出す(a,b,c)=(12,9,7)以外の△ABCの形状を調べてみた。
> (a,b,c)=
> (6,4,5)
> (15,9,16)
> (20,16,9)
> (28,16,33)
> (30,25,11)
> (35,25,24)
> (40,25,39)
> (42,36,13)
> (45,25,56)
> (56,49,15)
> (63,49,32)
> (66,36,85)
> (70,49,51)
> (72,64,17)
> (77,49,72)
> (84,49,95)
> (88,64,57)
> (90,81,19)
> (91,49,120)
> (99,81,40)
> ・・・・・・・
>
> また
> ∠A=3∠B
> の関係を生み出す△ABCの形状を調べてみたら
> (a,b,c)=
> (10,8,3)
> (48,27,35)
> (132,64,119)
> (195,125,112)
> ・・・・・・・
>
>
>
>

∠A=n∠Bのとき、辺の長さCA(=b)はn乗数なのかな?
※nは正の整数
 

Re: 本日の更新履歴

 投稿者:らすかる  投稿日:2018年11月 7日(水)14時10分48秒
返信・引用
  > No.16141[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> 面白い三角形での
> ∠A=2∠B
> の関係を生み出す(a,b,c)=(12,9,7)以外の△ABCの形状を調べてみた。

∠A=2∠Bを満たすaの数列は
http://oeis.org/A106430 にありました。

ところで、その結果を眺めているとbは常に平方数になっていますね。
これは、少し考えたら必ず平方数になることが簡単に示せました。
つまり
「∠A=2∠Bを満たす整数辺三角形でGCD(a,b,c)=1」⇒「bは平方数」
が成り立ちます。
 

本日の更新履歴

 投稿者:GAI  投稿日:2018年11月 7日(水)12時19分35秒
返信・引用 編集済
  面白い三角形での
∠A=2∠B
の関係を生み出す(a,b,c)=(12,9,7)以外の△ABCの形状を調べてみた。
(a,b,c)=
(6,4,5)
(15,9,16)
(20,16,9)
(28,16,33)
(30,25,11)
(35,25,24)
(40,25,39)
(42,36,13)
(45,25,56)
(56,49,15)
(63,49,32)
(66,36,85)
(70,49,51)
(72,64,17)
(77,49,72)
(84,49,95)
(88,64,57)
(90,81,19)
(91,49,120)
(99,81,40)
・・・・・・・

また
∠A=3∠B
の関係を生み出す△ABCの形状を調べてみたら
(a,b,c)=
(10,8,3)
(48,27,35)
(132,64,119)
(195,125,112)
・・・・・・・



 

Re: リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:GAI  投稿日:2018年11月 6日(火)07時08分33秒
返信・引用 編集済
  DD++さんへのお返事です。

> 5回のときの方法にさらに小細工で嵩増しして、6回で「300枚ちょっと」の305枚解ができました。
> まだまだ改善の余地はありそうな感触ですが、さて。


驚くべき構成を見て、何とか305枚を超える構成をと考え307枚に挑戦してみたんですが
DD++さんのヒントとして307を6つに分けるのも(38,42,48,50,61,68)に対し、異なる3つずつの和が1違い、(6)
2つでの最大の和と3つでの和の最小値とでの1つ違い (4),(5)
などを利用し全部で6個の不等式がただ一つ

C[38] + C(61) > C[48] + C[50] ……(1)
C[42] + C[68] > C[48] + C[61] ……(2)
C[50] + C[61] > C[42] + C[68] ……(3)
C[61] + C[68] > C[38] + C[42] + C[48] ……(4)
C[38] + C[42] + C[50] > C[61] + C[68] ……(5)
C[38] + C[48] + C[68] > C[42] + C[50] + C[61] ……(6)

とはできるんですが、これから
C[38] ≧ 38 つまり C[38] = 38
を導ける方法はどうしても見つけられない。
またいろいろ試していて、なんとなくnの枚数は偶数では無理な気がしました。

やってみて如何に305の分解を38,41,48,50,61,67とされているのが微妙なものであることが実感できました。

 

(無題)

 投稿者:S(H)  投稿日:2018年11月 5日(月)00時34分58秒
返信・引用
  https://math.berkeley.edu/~sander/spring2016math16B/ps2solutions.pdf
       ↑の どの問も 「自然な発想で解かれている」
      (Exercise (7.3.26). には チイサナ ミス が 在る)

  束縛条件のもとで最適化を 行う Exercise (7.4.6).Exercise (7.4.19) は
  ラグランジュの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
       で 真に「自然な発想で解かれている」

        この Exercise (7.4.6).Exercise (7.4.19)
           を ■method of Lagrange multiplier
  で素直に解くことを 禁じられた■ と 解した 高校 の せんせい は
     如何なる 発想達で 解いて 生徒に示して しまうか?
          多様な発想を忖度し 例示 下さい;
 https://www.youtube.com/watch?v=EYnuZLPbTsE&start_radio=1&list=RDEYnuZLPbTsE#t=40

https://math.berkeley.edu/~sander/

       S; 3*x + 5*y + z - x^2 - y^2 - z^2=-28
  の双対曲面 S^★ f^★(x,y,z)=0  を 多様な発想で求めて下さい;

  不定方程式(Diophantine equation) を 解いて下さい;
  S^★∩Z^3=

    制約条件 x + y + z = -6 のもとで f^★(x,y,z)
    の 最小値を  多様な発想で求めて下さい;
    禁欲せず 真に「自然な発想でも解いて下さい!」

   https://algebrateahousejmath.wordpress.com/

   https://en.wikipedia.org/wiki/University_of_California,_Berkeley
  
 

Re: リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:DD++  投稿日:2018年11月 3日(土)09時08分34秒
返信・引用
  5回のときの方法にさらに小細工で嵩増しして、6回で「300枚ちょっと」の305枚解ができました。
まだまだ改善の余地はありそうな感触ですが、さて。

↓とりあえずの305枚解

C[38] + C[41] + C[50] > C[61] + C[67] ……(1)
C[61] + C[67] > C[38] + C[41] + C[48] ……(2)
C[41] + C[48] > C[38] + C[50] ……(3)
C[38] + C[48] + C[67] > C[41] + C[50] + C[61] ……(4)
C[48] + C[61] > C[41] + C[67] ……(5)
C[38] + C[61] > C[48] + C[50] ……(6)

全て「左辺≧右辺+1」と書き換えてから
(1)+(2) より C[50] ≧ C[48] + 2 ……(7)
(7)+(3) より C[41] ≧ C[38] + 3 ……(8)
(7)+(8)+(4) より C[67] ≧ C[61] + 6 ……(9)
(9)+(5) より C[48] ≧ C[41] + 7 ……(10)
(8)+(10)+(6) より C[61] ≧ C[50] + 11 ……(11)

(1),(9),(11),(7),(10) より
C[38] + C[41] + C[50]
≧ C[61] + C[67] + 1
≧ 2*C[61] + 7
≧ 2*C[50] + 29
≧ C[48] + C[50] + 31
≧ C[41] + C[50] + 38
なので、C[38] ≧ 38 つまり C[38] = 38

あとは、(8),(10),(7),(11),(9) を順に見て明らか。
 

Re: リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:GAI  投稿日:2018年11月 3日(土)08時07分21秒
返信・引用
  > No.16136[元記事へ]

DD++さんへのお返事です。

> C[46]>0 では「A[46] の46枚組のなかに B[46] の46枚組よりも本物が多く含まれている」であり、それぞれ全て本物/贋物であることは証明できません。


そうか!
何か変だけどとは感じていたんですが、逆にC[46]≧46
を取り出せるための第6の式が全然分からなくて・・・
 

Re: リベンジ;不等式の本数の節約

 投稿者:DD++  投稿日:2018年11月 3日(土)07時54分38秒
返信・引用
  GAIさんへのお返事です。

> そこで6回目の天秤で
> C[46]>0 即ち             A[46] > B[46]
> を確認する。

その流れでいくと、最後で必要なのは C[46]≧46、
つまり「A[46] の46枚組のなかに B[46] の46枚組よりも本物が46枚以上多く含まれている」ことですね。

C[46]>0 では「A[46] の46枚組のなかに B[46] の46枚組よりも本物が多く含まれている」であり、それぞれ全て本物/贋物であることは証明できません。
 

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